Nombres complexes, bac Sti2d.

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On considère le nombre complexe z = 2e−i p/4 où i est le nombre complexe de module 1 et d’argument ½p.
Le carré de z est égal à : a) −4i ; b) −4 ; c) −2i ; d) 4.
z2 = 4
e−i p/2  =4(cos (-p/2)+i sin(-p/2) = -4i.
L’inverse de z est égal à : a) ½e−i p/4 ; b) -2e−i p/4 ; c) 2ei p/4 ;  d) ½ ei p/4.
1/z = 1/(
2e−i p/4) =½ei p/4.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct. On note C l’ensemble des nombres complexes, et i le nombre complexe de module 1 et d’argument p/2..
1. On considère l’équation (E) d’inconnue z :
(2−i)z = 2−6i.
Résoudre dans C l’équation (E). On notera z1 la solution de (E) que l’on écrira sous forme algébrique.
z1 =(2-6i) /(2-i) =(2-6i)(2+i) / ((2+i)(2-i)) =(4-6i2-10i) /(4-i2)=10(1-i)/5=2(1-i).
 Déterminer la forme exponentielle de z1.
Module de z1 : 2(1+1)½ =2*2½~2,828 ; argument : arctan(-1) =-p/4 ; z1 =
2*2½e-ip/4.
Soit z2 le nombre complexe défini par : z2 = e−i p/2 x z1.
Déterminer les formes exponentielle et algébrique de z2.
z2 = e−i p/2 2*2½e-ip/4 =2*2½e-i3p/4.
z2 ==2*2½(cos(-3p/4) +i sin(-3p/4)) =2*2½(-0,707-0,707 i) =2(-1-i).
Soit A, B et C les points du plan d’affixes respectives : zA = 2−2i, zB = −2−2i et zC = −4i.
Placer les points A, B et C dans le plan complexe.
Déterminer la nature du triangle ABC.

Le triangle ABC est rectangle isocèle.



On considère le puzzle représenté ci-deoous. Il est constitué de 3 pièces : le triangle AEF et les quadrilatères AEBO et AFCO, découpés dans le triangle OBC. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
d’unité graphique 1 cm.

 Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation d’inconnue complexe z :

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On considère les points B et C d'affixes respectives zB = 4*3½+4i et zC =4*3½-4i. Vérifier que zB = 8 e(ip/6).
Module de zB :((4*3½)2+42)½ =64½ =8 ; argument de zB : arctan(4/(4*3½)) =p/6.
En déduire une écriture exponentielle de zC.
zB et zC sont conjugués : zC = 8 e(-ip/6).
Placer les points B et C dans le repère défini précédemment. Voir ci-dessous.
Démontrer que le triangle OBC est équilatéral.
OB =|zB|=8 ;
OC =|zC|=8 ; xC-xB =4*3½-4*3½+ =0 ; yC-yB =-4-4 = -8 ; BC = (02+(-8)2)½ = 8.
Les trois côtés du triangle sont égaux : le triangle OBC est équilatéral.
Le point A a pour coordonnées (3 ; 0). Le point D a pour coordonnées 4*3½ ; 0) .
Écrire les affixes des points zA et zD des points A et D.
zA =3 +0i =3 ; zD =
4*3½ +0i =4*3½ .
Calculer les affixes du point E milieu du segment [BD] et du point F milieu du segment [CD].
xE =½(xB+xD) =½(
4*3½+4*3½ )=4*3½ ; yE =½(yB+yD) =½(4+0 )=2 ; zE = 4*3½ +2i.
xF =½(xC+xD) =½(4*3½+4*3½ )=4*3½ ; yF =½(yC+yD) =½(-4+)=-2 ; zF = 4*3½ -2i.
Placer les points A, D, E et F dans le repère.

Calculer l’aire exacte, en cm2, du triangle AEF.
AD *EF / 2 avec AD =((xD-xA)2 +
(yD-yA)2 )½ =((4*3½-3)2 +(0-0)2 )½4*3½-3.
EF =((xF-xE)2 +(yF-yE)2 )½ =((4*3½-4*3½)2 +(-2-2)2 )½ = 4.
AD *EF / 2 =2( 4*3½-3) ~7,86 cm2.
Quelles sont les valeurs exactes, en cm2, des aires des deux autres pièces du puzzle ?
Aire du triangle OBC : ½BC * OD
avec BC =((xC-xB)2 +(yC-yB)2 )½ =((4*3½-4*3½)2 +(-4-4)2 )½ = 8.
OD =((xD-xO)2 +(yD-yO)2 )½ =((4*3½-0)2 +(0-0)2 )½4*3½.
½BC * OD =16*3½ cm2.
Aire d'un des deux quadrilatère = (aire du triangle OBC- aire du triangle AEF ) /2 =(
16*3½ -(8*3½ -6))/2 =4*3½ +3 cm2.





Quelle est la forme exponentielle du complexe z = -5 +5i ?
Module de z : ((-5)2 +52)½ =50½ =5*2½ ; argument de z : arctan( 5/(-5) = -p/4.
Par suite z =
5*2½ e(-ip/4).

z1 =2*2½e(3ip/4) et z2 =
2½e(-ip/3). Quel est le module et l'argument du produit z1 z2 ?
Faire le produit des modules (
2*2½ *2½=4) et la somme des arguments (3p/4-p/3=9p/12-4p/12=5p/12 ).

Ecrire plus simplement le nombre complexe suivant :

Quelle est la forme algébrique du complexe de module 2*3½ et d'argument 2p/3 ?
z =a+ib avec tan (2p/3) = b/a  = -3½ et (a2+b2)½ =2*3½ ;
b =
-3½a ; (a2+( -3½a)2)½ = (a2+3a2)½ =(4a2)½ =±2a =2*3½ ; a = ±3½ ; on retient a = -3½, d'après le schéma.
 par suite b =
-3½a = + 3 et z = -3½ +3i.




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