Loi normale, loi binomiale, intervalle de confiance, bac Sti2d.

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Une entreprise produit en grande quantité des pièces détachées destinées à l’industrie.
L’objectif de cet exercice est d’étudier l’exploitation de divers outils mathématiques
pour analyser la qualité de cette production.
A. Loi normale.
Une pièce est conforme lorsque sa longueur, exprimée en millimètres, appartient à l’intervalle [74,4 ; 75,6].
On note L la variable aléatoire qui, à chaque pièce prélevée au hasard dans la production, associe sa longueur. On suppose que la variable aléatoire L suit la loi normale d’espérance m=75 et d’écart type s=0,25.
Calculer P(74,4<=L <=75,6).
(74,4-75)/0,25 =-2,4 ; (75,6-75)/0,25 =2,4.
P(74,4<=L <=75,6) =P(-2,4 <=(L-m)/s <=2,4.
(L-m) / s suit la loi normale centrée réduite : 2P(2,4)-1.
Les tables donnent :
2P(2,4)-1=2*0,9918-1 =0,9836 ~0,984 à 10-3 près.
Quelle valeur doit-on donner à h pour avoir P(75−h <=L <=75+h) = 0,95 ?
(L-m) / s suit la loi normale centrée réduite : 2P(h/s)-1=0,95.
P(h/s) =1,95/2 =0,975.
Les tables donnent t = 1,96.

h =t s =1,96*0,25 =0,49.

B. Loi binomiale.
Les pièces produites par l’entreprise sont livrées par lots de 20.
On note D l’événement : « une pièce prélevée au hasard dans la production n’est pas conforme ».
On suppose que P(D) = 0,02.
On prélève au hasard 20 pièces dans la production. La production est assez importante pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. On considère la variable aléatoire X qui, à un lot de 20 pièces, associe le nombre de pièces non conformes qu’il contient.
Justifier que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres 20 et 0,02.
Les prélevements sont indépendants et leur nombre est fixé à n = 20.
Chaque tirage peut déboucher seulement sur 2 résultats  : la probabilité qu'une pièce soit non conforme est constante p = 0,02. La probabilité qu'une pièce soit conforme est q = 1-p = 0,984.
La loi binomiale B(n=20, p = 0,02) est valide.

Calculer la probabilité P(X = 0).
P(X=0)=
 C200 p0 q20 avec C200 = 1 ; P(X=0)= 0,9820 =0,6676 ~0,668.
Calculer la probabilité qu’il y ait au moins une pièce non conforme dans ce lot de 20 pièces.
P(X>=1)=1-P(X=0) =1-0,6676 =0,332.
Calculer l’espérance mathématiques, E(X), de cette variable aléatoire et interpréter le résultat.
L'espérance matématique est E(X) = np =20*0,02 =0,4. Sur 100 pièces il y en a 2 non conformes.


Intervalle de fluctuation.
Le cahier des charges établit que la proportion de 2% de pièces non conformes dans la production est acceptable.
Donner l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence des pièces non conformes dans un échantillon de taille 80.
p = 0,02 ; n=80 ( valeur supérieure à 30) ; E=np =80*0,02 = 1,6 ( valeur inférieure à 5).
n(1-p) =80*0,98=78,4 ( valeur supérieure à 5) ; s =(np(1-p)½ =(78,4*0,02)½=1,252.
p-1,96 (p(1-p)/n)½ =1,96(0,02*0,98/80)½ =0,02-0,031~-0,01
p+1,96 (p(1-p)/n)½ =1,96(0,02*0,98/80)½ =0,02+0,031~0,051
Intervalle de confiance [-0,01 ; 0,051]
On veut savoir si la machine de production est correctement réglée. Pour cela on prélève au hasard dans la production un échantillon de taille 80 dans lequel 3 pièces se révèlent être non conformes.
 Quelle est la fréquence des pièces non conformes dans l’échantillon prélevé ?
f=3/80 =0,0375.
La machine de production doit-elle être révisée ? Justifier votre réponse.
La fréquence f appartient à l'intervalle de confiance : une révision n'est pas nécessaire au risque de 5 %.

On observe la durée de fonctionnement, exprimée en années, d’un appareil électroménager jusqu’à ce que survienne la première panne. Cette durée de fonctionnement est modélisée par une variable aléatoire X suivant la loi exponentielle de paramètre l= 0,2. La probabilité que le moteur fonctionne sans panne pendant plus de 8 ans est au centième près :
a. 0,18 b. 0,20 c. 0,71 d. 0,80.
p(X>8) =e-0,2*8 =0,202.

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Une entreprise spécialisée produit des boules de forme sphérique pour la compétition.
Le responsable de la qualité cherche à analyser la production.
Il mesure pour cela la masse des boules d’un échantillon (E) de 50 pièces de la production concernée, et obtient les résultats suivants pour la série statistique des masses :

M= Masse en g 1195 1196 1197 1198 1199 1200 1201 1202 1203 1204 Total
n=Nombre de boules 1 3 4 6 8 11 6 5 3 3 50
nM 1195 3588 4788 7188 9592 13200 7206 6010 3609 3612 59998
Une boule est dite « de bonne qualité » si sa masse en grammes m vérifie : 1197<= m <=1203.
Calculer, pour l’échantillon (E), le pourcentage de boules de bonne qualité.
7 boules non conformes sur 50 soit 7/50 = 0,14.
Déterminer la moyenne et l’écart type de la série des masses de cet échantillon. (On donnera des valeurs approchées au gramme près.)
m =59998/50=1199,76 ~1200 g ; s =2,21.
Dans la suite de l’exercice, on admet que la probabilité qu’une boule soit de bonne qualité est : p = 0,86. Les résultats des différentes probabilités seront donnés au millième près.
L’entreprise livre des lots de boules à un client. On assimile le choix de chaque pièce d’un lot à un tirage avec remise.
On désigne par X la variable aléatoire qui, à un lot donné de 50 boules, associe le nombre de boules de bonne qualité.
Justifier que X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres n et p.
Il s’agit d’une expérience de Bernoulli (le succès vaut p = 0,86 et l'échec vaut q= 0,14) répétée n = 50 fois dans les mêmes conditions et de manière indépendante.
Le nombre X de succès suit une loi binomiale B(n,p) = B(50 ; 0,86)
Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.
Cela signifie qu'il peut y avoir 48, 49 ou 50 pièces conformes.
P( X >=48)=P(X=48) +P(X=49)+P(X=50).
P(X=48)= C5048 p48 q2 avec C5048 = 50*48/2=1200 ; P(X=48)= 1200*0,8648*0,142=0,0169.
P(X=49)= C5049 p49 q1 avec C5049 = 50 ; P(X=49)=50*0,8649*0,14=0,0043.
P(X=50)= C5050 p50 q0 avec C5050 = 1 ; P(X=50)=0,8650=5,31 10-4. P( X >=48)=0,0217.
On décide d’approcher la loi binomiale suivie par la variable aléatoire X par une loi normale d’espérance m et d’écart type s.
Justifier que m = 43 et s ~ 2,45.
m =np =50*0.86=43 ; s = (npq)½ =(50*0,86*0,14)½~2,45.
Déterminer, à l’aide de cette loi normale, une approximation de la probabilité qu’il y ait au moins 48 boules de bonne qualité dans le lot.
P( X >=48)=P(X=48) +P(X=49)+P(X=50).
(X-m) / s ) = (48-43)/2,45=2,04 ; les tables donnent : P(2,04)=0,9793 ; P( X >=48)=1-0,9793 = 0,0207.
Le client reçoit un lot de 50 boules.
Préciser l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence des boules de bonne qualité pour un lot de 50 pièces.
p-1,96 (p(1-p)/n)½ =0,86-1,96(0,86*0,14/50)½ =0,86-0,096~0,76
p+1,96 (p(1-p)/n)½ =0,86+1,96(0,86*0,14/50)½ =0,86+0,096~0,956
Intervalle de confiance [0,76 ; 0,956]

Dans son lot, le client a 42 boules qui sont de bonne qualité.
Il affirme au fabricant que la proportion de boules de bonne qualité est trop faible au regard de la production habituelle de l’entreprise.
Peut-on donner raison au client au seuil de confiance de 95% ? Justifier.
Fréquence des boules de bonne qualité f = 42/50 = 0,84.
Cette fréquence appartient à l'intervalle de confiance. La proportion de boules de bonne qualité est correcte.





Une entreprise fabrique en grande série des barres de pâte d’amande. La masse annoncée sur leur emballage est de 125 grammes. La machine qui fabrique les barres de pâte d’amande est préréglée afin que ces dernières respectent la masse de 125 grammes avec une certaine tolérance. Une barre de pâte d’amande est dite conforme lorsque sa masse est comprise dans un intervalle de tolérance de [124 ; 127,5].
On désigne par X la variable aléatoire qui, à une barre de pâte d’amande prélevée au hasard dans la production, associe sa masse en grammes. Le service qualité estime que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 125,5 et d’écart type 0,75.
On utilisera éventuellement le tableau suivant présentant le calcul, effectué à l’aide d’un tableur, des probabilités de quelques événements pour une loi normale d’espérance 125,5 et d’écart type 0,75.

Calculer la probabilité qu’une barre de pâte d’amande prélevée au hasard ait une masse supérieure à 125,5 grammes
P(X >125,5).
P(X >125,5) =0,500 ( lecture table).
Calculer la probabilité qu’une barre de pâte d’amande prélevée au hasard soit conforme.
X doit être compris entre 124 et 127,5 bornes comprises.
P(X<124) = 0,022 750 1 ; P(X>127,5) =1-0,996 169 6 =0,003 830 4.
P(124 <= X <= 127,5) =1-
0,022 750 1-0,003 830 4 ~0,973.
En déduire la probabilité qu’une barre de pâte d’amande prélevée au hasard soit non conforme.
P(X<124) +P(X>127,5) =
0,022 750 1+0,003 830 4 ~0,0266.
Lors d’un contrôle, le responsable qualité prélève de façon aléatoire un échantillon de 300 barres de pâte d’amande dans la production et constate que 280 barres de pâte d’amande sont conformes.
On admet que, lorsque la machine est correctement réglée, la proportion de barres de pâte d’amande conformes dans l’ensemble de la production est de 97%.
On souhaite savoir si le réglage de la machine peut être jugé satisfaisant.
Donner l’intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence des barres de pâte d’amande de masse conforme obtenue sur un échantillon de taille 300 (les bornes de l’intervalle seront arrondis à 10−3 près).
p = 0,97 ; q = 0,03 ; n = 300.
p-1,96 (p(1-p)/n)½ =0,97-1,96(0,97*0,03/300)½ =0,97-0,0193~0,95
p+1,96 (p(1-p)/n)½ =0,97+1,96(0,86*0,14/50)½ =0,97+0,0193~0,996
Intervalle de confiance [0,95 ; 0,99]

Le résultat obtenu lors du contrôle qualité remet-il en question le réglage de la machine ?
Dans son lot, le client a 280 boules qui sont de bonne qualité.
Fréquence : 280/300 =0,93, cette fréquence est hors de l'intervalle de confiance. La machine est mal réglée.







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