Calcul d'aire,  fonction exponentielle, bac.

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Soit f la fonction définie sur [0; 1] par f(x) = xex.
On désigne par C la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthogonal  (O, i, j).
Soit a un nombre réel appartenant à l’intervalle [0; 1].
Sur la courbe C , tracée ci-dessous, on a placé les points A et B d’abscisses respectives a et 1. On a tracé les segments [OA] et [AB]. On a hachuré la partie du plan délimitée par les segments [OA] et [AB] et la courbe C. On a placé les points A'(a; 0) et B'(1; 0).
Le but de l’exercice est de déterminer la valeur du nombre réel a pour laquelle l’aire de la partie du plan hachurée  est minimale.



Partie A :
 Montrer que :
On pose u = x et exdx = dv ; v = ex et dx = du.
Les fonctions u et v sont dérivables sur [0 ; 1] ; de plus u' et v' sont continues sur [0 ; 1 ], on peut  effectuer une
intégration par parties :

Donner l’aire du triangle OAA' et montrer que l’aire du trapèze ABB'A' est égale à  : ½(-a2ea+aea-ae+e)
Aire du triangle OAA' : ½OA' x AA' =½a aea =½a2ea.
Aire du trapèze : ½(AA'+BB') x A'B'.
AA' = a ea ; BB' =e ; A'B' = 1-a.
Par suite : ½(a ea+e)(1-a) =
½(-a2ea+aea-ae+e).
En déduire que l’aire de la partie du plan hachurée est  : ½(a ea -ae + e-2).
Aire du triangle OAA' + aire du trapèze ABB'A' - aire I
½a2ea +½(-a2ea+aea-ae+e) -1 =½(a ea -ae + e-2).

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Partie B.
Soit g la fonction définie sur [0,+oo[ par g(x) = x(ex− e) + e − 2.
Soit g' la fonction dérivée de la fonction g. Calculer g'(x) pour tout réel x de [0;+oo[.
La dérivée de la constante e-2 est nulle ; on pose u = x et v =ex-e ; u' = 1 et v' = ex.
Dérivée d'un produit : g'(x) =
u'v + v'u = ex− e + xex.
Vérifier que la fonction dérivée seconde g" est définie sur [0;+oo[ par g"(x) = (2+x)ex.
g"(x) =ex+
ex +xex =ex(2+x)
 En déduire les variations de la fonction g' sur [0;+oo[.
Pour x appartenant à l'intervalle [0 ; +oo[, g"(x) est positive : g'(x) est strictement croissante sur cet intervalle.
 Établir que l’équation g'(x) = 0 admet une solution unique a dans l’intervalle [0;+oo[. Déterminer une valeur approchée de a à 10−1 près.
g'(0) =e0(1+0)-e =1-e. Quand x tend vers l'infini, xex et ex tendent vers l'infini.
g'(x) est continue et strictement croissante sur [0 ; +oo [.
De plus 1-e est négatif, donc zéro appartient à l'intervalle [1-e ; +oo [  : g'(x) =0 admet une seule solution.
g'(0,5) = 1,649 -2,718 +0,824 = -0,244.
g'(0,6) =1,82 -2,718 +1,09 =0,19. a est compris entre 0,5 et 0,6.
En déduire les variations de la fonction g sur [0;+oo[.
g'(x) est négative sur [0 ; a [ : g(x) est décroissante sur cet intervalle.
g'(x) est positive sur ]a ; +oo[ : g(x) est croissante sur cet intervalle.
g'(x) =0 pour x = a : g(x) possède un minimum pour x =a.
En utilisant les réponses aux questions des parties A et B, montrer qu’il existe une valeur de a pour laquelle l’aire de la partie du plan hachurée est minimale. Donner cette valeur de a.

L'aire du plan hachurée est égale à : ½(a ea -ae + e-2), c'est à dire ½g(a).
De plus g(x) possède un minimum pour x =a.
L'aire hachurée est donc minimale pour x =a.





On considèrela fonction f définie sur R : f(x) = xex-1+1 et on note C sa courbe représentative.
Etude de la fonction.
Déterminer la limite de f en −oo. Que peut-on en déduire pour la courbe C ?
L'exponentielle ex-1 tend rapidement vers zéro quand x tend vers -oo ;
xex-1 tend donc vers zéro.
f(x) tend vers 1 lorsque x tend vers -oo.
La droite d'équation y = 1 est asymptote à la courbe.
Déterminer la limite de f en +oo.
L'exponentielle ex-1 tend rapidement vers l'infini quand x tend vers +oo ; xex-1 tend donc vers l'infini.
f(x) tend vers +oo lorsque x tend vers +oo.
On admet que f est dérivable sur R et on note f" sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout réel x, f"(x) = (x + 1)ex−1.
On pose u = x et v =
ex-1 ; u' = 1 et v' = ex-1.
Dérivée d'un produit : f'(x) =u'v + v'u =
ex-1 +xex-1 = (1+x)ex-1.
Étudier les variations de f sur R et dresser son tableau de variation sur R.
L'exponentielle est toujours positive ;
f '(x) est négative si x < -1 : f(x) est  décroissante sur ]-oo ; -1[.
f '(x) est positive si x > -1 : f(x) est  croissante sur ]-1 ; +oo1[.
f '(x) = 0 pour x = -1. f(x) possède un minimum pour x = -1.

Recherche d’une tangente.
Soit a un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s’il existe une tangente à la courbe C au point d’abscisse a, qui passe par l’origine du repère.
On appelle T la tangente à C au point d’abscisse a. Donner une équation de T.
L'équation de la tangente est de la forme y = ax +ß avec a =f '(a) =(1+-a)ea-1.
Au point  de tangence : f(a) =
(1+a)ea-1a +ß = aea-1+1.
ß =
aea-1+1 -a(1+a)ea-1 = -a2ea-1+1 ; par suite l'équation de T est y =(1+a)ea-1x -a2ea-1+1.
Démontrer qu’une tangente à C en un point d’abscisse a strictement positive passe par l’origine si et seulement si a vérifie l’égalité : 1 − a2ea−1 = 0.
Si la tangente passe par l'origine ß =0 soit
1 − a2ea−1 = 0.
Démontrer que 1 est l’unique solution sur l’intervalle ]0,+oo[ de l’équation 1 − x2ex−1 = 0.
1-12e1-1=1-1 e0 = 1-1 = 0 : 1 est bien solution de l'équation
1 − x2ex−1 = 0.
x2ex−1 -1=0 peut s'écrire x2-e1-x =0
On pose g(x) =
 x2-e1-x ; g'(x) =2x+e1-x ; sur ]0 ; +oo[, g'(x) est strictement positive : g(x) est strictement croissante sur cet intervalle.
g(0,01) ~ -0,37 ; g(x) tend vers l'infini lorsque x tend vers l'infini.
Donc x=1 est l'unique solution de
1 − x2ex−1 = 0 sur l'intervalle ]0 ; +oo[.
Donner une équation de la tangente recherchée.
ß est nul si a = 1 ; par suite l'équation de la tangente à C passant par l'origine est : y =
(1+1)e1-1x= 2x.




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Construire sur ce graphique la droite D d’équation y = 2x. On admet que la courbe C est au-dessus de la droite D. Hachurer le domaine D limité par la courbe C , la droite D, la droite d’équation x = 1 et l’axe des ordonnées.

Montrer à l’aide d’une intégration par parties que 
On pose u = x et dv = ex-1dx ; du =dx et v = ex-1.

Par suite :
En déduire la valeur exacte (en unités d’aire) de l’aire du domaine D.
A l'aire J précédente on retranche l'aire du triangle de base 2 et de hauteur 1 :
e-1+1-½ *1 *2 =e-1 unité d'aire.
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