Etude graphique et numérique de fonction : bac St2S 2013


Pour traiter un patient, un médecin procède à l’injection intramusculaire d’une dose d’une substance médicamenteuse au temps t = 0 (t est exprimé en heures).Le produit actif se diffuse dans le sang puis est progressivement éliminé.
Le médicament est efficace lorsque la concentration du produit actif dans le sang est supérieur ou égale à 25mg/L. 
La concentration maximale du produit actif dans le sang ne peut pas dépasser 40 mg/L pour éviter les effets secondaires.
Partie A : Étude graphique.
La courbe donnée ci-dessous représente la concentration en mg / L du produit actif dans le sang du malade en fonction du temps écoulé depuis l’injection du médicament. À l’aide de cette courbe répondre, avec la précision que permet le graphique, aux questions suivantes en faisant apparaître les traits de constructions utiles.
Déterminer la concentration en mg/L du produit actif pout t = 5.
Le médecin a-t-il respecté la dose à ne pas dépasser ? Expliquer.
La valeur maximale de la concentration vaut 32 mg/L, valeur inférieure à 40 mg/L. le médecin a effectué une injection correcte.
Déterminer les temps en heures et minutes pour lesquelles la quantité de produit actif est de 15 mg/L.
Quelle est la durée pendant laquelle le médicament est resté efficace ?
Au bout de quelle durée le médicament est-il complètement éliminé ? ( 6 heures)





Étude numérique.
On admet que la concentration, exprimée en mg/L , du produit actif dans le sang du malade est donnée en fonction du temps t , exprimé en heures, par la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 6] par : f (t ) = t3 −12t2 +36t .
Reproduire et compléter le tableau de valeur numérique.
t 0 1 2 3 4 5 6
f(t) 0 1-12+36
=25
23-12*22+36*2
=32
33-12*32+36*3
=27
43-12*42+36*4
=16
5 0
On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 6].
Calculer f ′(t ).
f '(t) = 3t2-12*2t +36 =
3t2-24t +36
Démontrer que, pour tout nombre réel t de l’intervalle [0 ; 6], on a : f ′(t )= (t −6)(3t −6).
f '(2) = 3*22-24*2+36 = 0, donc 2 est une racine de
3t2-24t +36=0.
f '(6) = 3*62-24*6+36 = 0, donc 6 est une racine de 3t2-24t +36=0.
par suite f '(t) =a(t-6)(t-2)
Développer a(t2-8t+12) =
3t2-24t +36. On en déduit a = 3.
 Résoudre l’équation f ′(t ) = 0 sur l’intervalle [0 ; 6].
La dérivée s'annule pour x=2 et x = 6.
Étudier le signe de f ′(t ) sur l’intervalle [0 ; 6].
Sur [0 ; 2[ la dérivée est positive ; sur ]2 ; 6[, la dérivée est négative.
Construire le tableau de variations de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 6].

En déduire la concentration maximale du produit actif dans le sang du malade.

f(2) =
23-12*22+36*2 =32 mg/L.

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On considère la fonction f définie sur l’intervalle [−5 ; 10] dont la représentation graphique C est donnée dans le repère orthonormal ci-dessous. La droite (D) esttangente à la courbe au point A d’abscisse 5.

L’ensemble des solutions de l’inéquation f (x)>0 est : a. [0 ; 10] ; b. [−5 ; −3] et [−1 ; 10] c. [−2 ; 3] et [8 ; 10].
f(x) est positive entre -5 et -3 ainsi qu'entre -1 et 10
L’ensemble des solutions de l’équation f (x) = 0 est : a. {2} ;  b. {−3 ; −1} ; c. {−2 ; 3 ; 8}.
f(x) est nulle pour x =-3, x=-1.
Le nombre dérivé de la fonction f en x = 5 est égal à : a. 5 ;  b. -1,5 ; c. −2.
Le nombre dérivé est égal à la pente de la droite D, c'est à dire -1,5.

On considère la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +1[ par g (x) = 2500×0,7x .
L’image, arrondie à l’unité, de 5 par la fonction g est égale à : a. 420 ; b. 8 750 ; c. 7 500.
g(5) =2500*0,75 =420.
Les solutions de l’inéquation g (x)< 100 sont les nombres réels x tels que : a. x>log 0,04 / log 0,7 ; b. x<log0,04 / log 0,7 ; c. x<log 0,7 / log 0,04.
2500×0,7x<100 ; 25x0,7x<1 ; 0,7x<0,04 ; x lg 0,7 <log 0,04  ; x(-log 0,7) < (-log 0,04) ;   x > log 0,04 / log 0,7.



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