Aurelie mai 2001


th de l'énergie cinétique- réaction du sol

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énergie

trajectoire parabolique

 

Un chariot de masse m=200g, de dimension négligeable, est mobile sans frottement sur une piste situé dans le plan vertical. On prendra g=10m.s-2 . La piste est formée de plusieurs parties

AB partie circulaire de centre 0 et de rayon r constant et d'angle q =AOB variable.

BC partie rectiligne de longueur 2r se raccordant tangentiellement à AB

CD partie rectiligne de longueur r

DE circonférence de rayon 2r, de centre O2 et raccordé tangentiellement à CD avec q =DO2E

La piste est interrompue entre E et E' , situés dans une même plan horizontal; le chariot décrit alors une parabole ESE' de sommet S qui se raccorde à la piste en E et E', puis la piste E'F.

  1. Le chariot est abandonné sans vitesse en A. Déterminer ses vitesses en B, C, D, E en fonction de r et q, ainsi que la réaction R de la piste ne ces points.
    Application Numérique: La partie circulaire DE représente un sixième de circonférence, de rayon 1m. Calculer les vitesses et les réactions en B, C, D, E.
  2. Pour quelles valeurs de q, le chariot quitte t-il la piste entre A et B?
  3. Etablir, par des considérations énergétiques, la relation entre l'altitude h de S au-dessus du plan horizontal EE' et l'angle q.
  4. Exprimer la distance de raccordement D=EE' en fonction de h et q. AN r =1m
  5. Calculer la force de freinage, constante, qu'il faut appliquer entre C et D pour que le chariot s'arrête en D, dans les conditions de la question 1

corrigé


altitudes :

hB= 2r sinq ; hA= 2r sinq + r(1-cosq) ; hE= 2r(1-cosq )

énergies :

en A l'énergie mécanique est sous forme potentielle de pesanteur : mghA.

en B, l'énergie mécanique est sous forme cinétique et potentielle de pesanteur :

½ mv²B + mg hB.

en C et en D, l'énergie mécanique est sous forme cinétique: ½mv²C = ½mv²D.

en E l'énergie mécanique est sous forme cinétique et potentielle de pesanteur

½ mv²E + mg hE.

l'action du support perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas; seul le poids travaille et l'énergie mécanique se conserve.

mghA =½ mv²B + mg hB.

B = 2g(hA -hB) = 2g r(1-cosq) d'où vB= 3,13 m/s

( en supposant que le solide n'a pas quité la piste en B)

C = 2ghA = 2g r(1+2sinq-cosq) d'où vC= 6,6 m/s

E = v ²C - 2ghE = 2g r(1+2sinq-cosq) - 2g r(2-2cosq) =2gr(-1+2sinq+cosq) d'où vE= 4,9 m/s

réaction du support:

sur l'arc AB : relation fondamentale de la dynamique suivant l'axe n de la base de Frenet

-R+mg cos a = mv²/r

R= m(g cos a -v²/r) avec v²= 2gr (hA-h) = 2gr(1-cosa)

R= mg(3cosa-2)

on quitte le support et on décolle si R=0 soit cosa = 2/3 et a = 48,18°

en conséquence le point B n'est pas atteint (q=60° supérieur à 48,18°)

sur le plan BC : relation fondamentale de la dynamique suivant un axe perpendiculaire au plan

R-mgcosq = 0 d'où R= 0,2*10*cos60 = 1 N

(pas de décollage, le solide reste sur le plan donc pas d'accélération suivant la normale au plan)

sur l'arc DE ( en E): relation fondamentale de la dynamique suivant l'axe n de la base de Frenet

R-mg cos q = mv²E/(2r)=mg(-1+2sinq+cosq)

R= mg(-1+2sinq+2cosq) = 0,2*10(-1+1,732+1)= 3,4 N


mouvement parabolique :

au sommet S, la composante verticale de la vitesse est nulle.

la composante horizontale de la vitesse vaut vEcosq.

énergie cinétique : ½ m (vEcosq)²

énergie potentielle de pesanteur : mghS=mg(h+hE)

l'énergie mécanique se conserve entre E et S:

½ m (vEcosq)²+mg(h+hE) = ½mv²E+mghE.

½ mv²E-½ m (vEcosq)² = mgh

½ (vEsinq)² =gh


distance EE': 2 fois l'abscisse du point S du fait de la symétrie de la parabole

au point S, la composante verticale de la vitesse est nulle: vEsinq-gt=0 d'où t = vEsinq/g

abscisse de S : xS= vEcosq t = vEcosq vEsinq/g = vE²sinq cosq /g

EE'= 2vE²sinq cosq /g = 2 (vEsinq)² cosq /(g sinq) = 4ghcosq /(g sinq) =4 h cotan q.


force de frottement entre C et D:

l'énergie mécanique est sous forme cinétique en C: ½ mv²C.

entre C et D, poids et action du support, perpendiculaires à la vitesse ne travaillent pas.

seule la force de frottement travaille : -f r

th de l'énergie cinétique entre C et D : 0-½ mv²C= -f r

f = ½ mv²C/r = mg(2 sinq + 1-cosq) = 0,2*10(1,732 +1-0,5) = 4,46 N

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