aurélie mai 2001
hydrodynamique

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BTS Travaux Publics 98

question A


  1. Sachant que les dimensions des grandeurs fondamentales suivantes sont : L pour la longueur; T pour le temps; M pour la masse
    Exprimer les dimensions d'une vitesse v, d'une accélération de la pesanteur g, d'une force F, d'une pression p, d'une masse volumique r, d'une énergie E.
  2. Vérifier que chacun des quatre membres de l'expression de Bernoulli ont même dimension.

    ½ m (v12-v22) + m/r (p1-p2) + mg (z1-z2) = E21.


    corrigé
vitesse : mêtre / seconde [L] [T]-1.

accélération : m / s² soit [L] [T]-2.

force (newton) = masse (kg) fois accélération (m/s²) soit [M] [L] [T]-2.

pression (Pa) = force (N) / surface (m²) soit :[M] [L] [T]-2 [L]-2 = [M] [T]-2 [L]-1

énergie (Joule) = force (N) fois longueur (m) soit : [M] [L]2 [T]-2.

masse volumique (kg /m3 ) soit [M] [L]-3


½ m (v12-v22) : [M] [L]2 [T]-2.

m/r (p1-p2) : [M] [M]-1 [L]3 [M] [T]-2 [L]-1=[L]2 [M] [T]-2

mg (z1-z2) : force fois une longueur soit une énergie [M] [L]2 [T]-2.

E21 une énergie [M] [L]2 [T]-2.

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BTS Travaux Publics 98

question B


Une des conduites forcées reliant un barrage hydraulique à une turbine a un diamètre de 1,60 m.

Le point A du barrage est à une altitude de ZA = 1597 m et à la pression atmosphérique pA=1,00.105 Pa.

Le point B, avant la turbine est à une altitude zB = 787 m et à la pression pB. On donne g = 9,81 m.s -2 et la masse volumique de l'eau r = 1000 kg.m-3 . On néglige la viscosité de l'eau ainsi que les pertes de charges.

  1.  

  2. Ecoulement du liquide sans turbine
    Le débit Qv en B est de 72 000 m3.h -1.
    Calculer le débit massique Qm en kg.s-1.
    Quelle est la vitesse d'écoulement VB ?
    En utilisant l'expression simplifiée de Bernoulli entre A et B, (E21= 0), calculer la pression pB en B pour une vitesse VB= 10m.s-1.
  3. . Etude de la turbine :
  • A la sortie C de la turbine la vitesse vC de l'eau est négligeable, et sa pression est égale à la pression atmosphérique pA. Calculer l'énergie EBC fournie à la turbine par chaque kilogramme d'eau.
  • Calculer la puissance de la turbine.
  • La turbine entraîne un alternateur, le rendement de la turbine est de 90 %, celui de l'alternateur est de 96 %, Calculer la puissance électrique disponible à la sortie de ce barrage.
  • On trouve dans un document une formule "pratique" qui donne directement la puissance électrique Pélec d'une chute d'eau : Pélec= 8 Q H avec Pélec en kW ; Q en m3.s-1 ; H dénivellation en m. Calculer Pélec et comparer avec le calcul précédent. 

corrigé

débit massique (kg/ h) = débit volumique (m3/ h) fois masse volumique du liquide (kg / m3)

Qm = 72 000*1000 = 7,2 10 7 kg h-1= 2 104 kg s-1.

section de la conduite (m²) = 3,14 * rayon ² = 3,14 * 0,8² = 2,0096 m²

débit volumique ( m3s-1) = vitesse (ms-1) fois section (m²)

72 000 /3600 = 20 m3s-1.

VB= 20 / 2,0096 = 9,95 m s-1.


pression en B :

½ m (v12-v22) + m/r (p1-p2) + mg (z1-z2) = E21 s'écrit :

½ (v12-v22) + 1/r (p1-p2) + g (z1-z2) = 0.

1/r (p1-p2) = -[ ½ (v12-v22) + g (z1-z2)]

1/r (p1-p2) = -[0,5(0-100) +9,81(1597-787)] = -[-50+7946]=-7896

p1-p2 = 1000*(-7896)

p2 = p1+7,896 106 = 105 + 78,96 105 = 79,96 105 Pa = 79,96 bars.


énergie fournie à la turbine : par 1 kg d'eau

 ½ m (vB2-vC2) + m/r (pB-pC) + mg (zB-zC) = ECB

masse m =1 kg ; zB=zC ; pC=105 Pa ; pB=79,96 105 Pa ; vB=10 m/s ; vC =0

0,5*100+ 1/1000 *(79,96-1) 105 +0=EBC.

EBC= 50+7896 = 7946 J /kg.

puissance de la turbine :

débit massique (kg /s ) fois EBC (J/kg) = 20 000* 7946 = 1,59 108 W = 1,59 105 kW

puissance électrique :  

puissance turbine fois 0,90 fois 0,96 = 1,59 105 *0,9*0,96 = 1,37 105 kW

Pélec = 8 Q H = 8*20*810 = 1,296 105 kW

ces deux derniers résultats sont comparables (moins de 10% d'écart)

Dans le premier calcul il aurait fallu tenir compte des pertes de charges dans la conduite.

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