Aurélie 06/02
diffraction

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définitions
le phénomène de diffraction
La diffraction est l'éparpillement de la lumière dû à la limitation matérielle des ondes. Ce phénomène se manifeste dès qu'un rayon lumineux rencontre un obstacle de même ordre de grandeur que sa longueur d'onde
l'approximation de Fraunhofer
ou diffraction à l'infini.

Lorsque la source et l'écran d'observation sont assez éloignés de l'ouverture, les calculs sont plus simples


principe d'Huyghens-Fresnel
Tous les points de la surface diffractante S se comportent comme des sources secondaires cohérentes entre elles. La figure de diffraction est donc le résultat des interférences des ondes émises par S.

Il suffira de sommer les amplitudes des ondes émises par chaque source secondaires.


le sinus cardinal

La fonction sinc² u s'atténue rapidement et s'annule tous les p.

Comment reconnaître un sinus cardinal ?

il apparaît lors de l'intégration d'une exponentielle complexe entre deux bornes symétriques par rapport à l'origine.

* le facteur multiplicatif est le double de la borne d'intégration.

* l'argument de sinc est l'argument de l'exponentielle de la borne supérieure.



2
diffraction par une ouverture plane rectangulaire
Il faut faire la somme des amplitudes des ondes émises par chaque élément diffractant de l'ouverture (les sources secondaires étant cohérentes entre elles). Ensuite pour obtenir l'intensité lumineuse I(M) il faudra élever au carré.

I0 : intensité de la source

k0 = 2p/l u : vecteur d'onde ( les vecteurs sont écrits en bleu et en gras )

u : vecteur unitaire ( cosinus directeurs a, b) pour la direction incidente

u' : vecteur unitaire ( cosinus directeurs a', b') pour la direction diffracté.

La figure de diffraction est formée d'une tache centrale brillante ( intensité I0) encadrée de taches latérales beaucoup moins éclairées, séparées par des zones noires.

maximum principal ( tache centrale) : a = a ' et b =b' directions incidente et diffractée sont identiques.

minimums nuls : soit a - a ' = pp ou b -b' = qp , p et q entiers positif ou négatif différents de zéro.

maximums secondaires : sinc² (p/l(a-a') = sinc² u est maximum ; cela correspond à u= tan u.

 

la frange centrale a une largeur double des franges latérales ( dans les interférences les franges ont même largeur et même éclairement). L'éclairement des franges latérales va décroissant.

(1) : intensité I0 ; (2 et 2') :intensité 0,047I0 ; (3 et 3') : intensité 0,017 I0.


dans le cas d'une fente isolée, la longueur b est très grande devant la largeur a. ( a restant de l'ordre de grandeur de l)

il y aura diffraction uniquement dans la direction Ox de la largeur.

Ce résultat ne s'applique pas lorsqu'il y a plusieurs fentes ( réseau, fentes d'Young) : il faut sommer les amplitudes et non pas les intensités lumineuses ( proportionnelles au carrée de l'amplitude)


3
diffraction par une ouverture circulaire
On utilise les coordonnées cylindriques ( r, q) pour repérer le point P de l'ouverture circulaire de rayon R, centrée en O.

On utilise le dispositif suivant :

La source lumineuse est placée dans le plan focal objet d'une première lentille convergente : on obtient ainsi un faisceau de lumière parallèle de vecteur d'onde k0.

Derrière l'ouverture circulaire on place une seconde lentille convergente de distance focale image f : la figure de diffraction est observée dans le plan focal image de cette seconde lentille.

 

on effectue le changement de variable q' = q -x.

la fonction F(u) s'appelle fonction de Bessel du premier ordre dont les valeurs sont données par des tables.

u = 2p / l r R / f

l'intensité diffractée est proportionnelle au carré de l'aire de l'ouverture.

on observe un maximum principal d'intensité I0, entouré de maximums secondaires d'intensité beaucoup plus faibe respectivement 0,017 I0, 0,004 I0 correspondant aux valeurs suivantes de u : 5,14 ; 8,46 et de minimums nuls correspondant à u = 3,83 ; 7,02.


4
diffraction et pouvoir séparateur des instruments d'optique

Le pouvoir séparateur d'un instrument d'optique est l'aptitude de ce dernier à séparer deux points objets proches.deux taches de diffraction peuvent être séparées si le maximum principal de l'une est confondu avec le premier minimum de l'autre.

O est le centre de l'objectif ; q est l'écart angulaire entre les deux images A' et B' ; R est le rayon de l'objectif.

il faut supposer que les objets A et B sont situés à grande distance.

pour le télescope du mont Palomar, R=2,5 m, pour la sensibilité maximum de l'oeil l= 0,56 m m, on trouve q = 1,4 10-7 rad.

microscope :

la lentille de l'objectif de rayon R, produit le phénomène de diffraction.

u' est petit , on confond sin u' et u' (rad)

si AB est assez éloigné, A'B' est dans le plan focal image de l'objectif.

A' et B' seront séparés si leur écart angulaire est supérieur à q.

Le pouvoir séparateur peut être amélioré en plongeant l'objet dans un liquide à fort indice de réfraction.

 


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