Aurélie fevrier 2001


énergie potentielle

travail, puissance, énergie potentielle

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potentiel de Morse

potentiel de Yukawa

L'énergie potentielle d'interaction entre les atomes d'une molécule diatomique est donnée par l'expression du potentiel de Morse : E(r) =A(1-exp-a(r-r0) )².

r : distance variable entre les atomes, a : constante positive, r0 et A : paramètres positifs dont il faudra déterminer la signification physique.

  1. Quelle est l'expression des forces d'interaction moléculaires. Déterminer r, pour qu'il y ait équilibre ? Cet équilibre est-il stable ?
  2. Retrouver ces résultats en utilisant l'énergie potentielle.
  3. Calculer l'énergie de dissociation de la molécule.
  4. L'énergie potentielle d'interaction entre 2 nucléons est donnée par le potentiel de Yukawa soit : E(r) =-B r0/r exp-r/r0. En déduire les forces d'interaction nucléaires.
  5. Représenter les forces précédentes et les comparer.

corrigé


référentiel du laboratoire supposé galiléen

La force d'interaction moléculaire est conservative et dérive du potentiel E(r)

Fm(r) = -dE / dr = -2Aa exp(-a(r-r0)) (1-exp(-a(r-r0))).

il y a un équilibre lorsque cette force est nulle, c'est à dire lorsque r = r0.

r0 représente la distance moyenne entre les deux atomes constituants la molécule.

l'équilibre est-il stable ?

-2Aa exp(-a(r-r0)) est négatif.

si r>r0, -a(r-r0)<0 et (1-exp(-a(r-r0))) est posittif : Fm attractive.

si r<r0, -a(r-r0)>0 et (1-exp(-a(r-r0))) est négatif : Fm répulsive.

Fm est donc une force de rappel vers la position d'équilibre : celui ci est stable.


l'énergie potentielle passe t-elle par un extrémum ?

on dérive l'énergie potentielle :

dE / dr = 2Aa exp(-a(r-r0)) (1-exp(-a(r-r0)))

cette dérivée s'annule pour :1-exp(-a(r-r0))=0 soit r = r0

L'énergie potentielle passe par unminimum pour r= r0, ce qui correspond à un équilibre stable.


énergie de dissociation

travail fourni par un opérateur extérieur pour séparer les deux atomes constituant cette molécule

dWop = -Fm dr

A représente l'énergie de dissociation de la molécule.


Les forces d'interaction nucléaires sont conservatives et dérivent d'une énergie potentielle.

Fn (r) = -dE / dr

les distances au niveau des molécules sont de l'ordre de 10-10m ; les distances au niveau du noyau sont de l'ordre de 10-15m. A court et moyen rayon d'action les forces nucléaires sont attractives, intenses lorsque les nucléons sont proches.

Les forces moléculaires sont attractives ou répulsives


2

force attractive

en 1/r²

Soit une particule ponctuelle M de masse m gravitant à la distance r =OM du centre d'un corps sphérique; elle est soumise à une force attractive : Le poids de la particule est négligeable.

  1. Exprimer son énergie potentielle en fonction de K et de r.
  2. La trajectoire de la particule étant circulaire de centre O, montrer que le mouvement est uniforme ; calculer l'énergie cinétique de la particule.
  3. Calculer son énergie mécanique.
  4. On provoque une diminution relative de 10-4 de l'énergie mécanique. Que deviennent la vitesse et le rayon de la trajectoire?
  5. La distance initiale est OM=r0. Quelles sont l'énergie minimale et la vitesse qu'il faut lui communiquer pour l'arracher de l'attraction du corps sphérique.

corrigé


on choisit un référentiel lié au coprs sphérique.

La force ne dépend que de la variable r. Cette force dérive d'une énergie potentielle s'il existe une fonction E telle que f(r) = - dE/dr.

ou bien dE = -f(r) dr : il suffit de rechercher une primitive de f(r)

E=-K/r + Cte

Lorsque la distance r devient très grande cette force et l'énergie potentielle n'existent plus, la constante est prise égale à zéro lorsque r tend vers l'infini.


la vitesse a une norme constante: le mouvement est uniforme

l'énergie cinétique vaut : Ec =½mv²=K/(2r).

l'énergie mécanique est la somme des énergie potentielle et cinétique:

E= -K/r+K/(2r) =-½ K/r


dérivée logarithmique de l'expression de l'énergie

dE/E = dr /r = -10-4.

dérivée logaritmique de ll'expression de la vitesse : 2 dv/v = -dr/r

dv/v = -½ dr/r = + 0,5 10-4 la vitesse augmente.


arracher la particule de l'attraction du corps sphérique revient à lui fournir de l'énergie afin que son énergie totale devienne nulle.

énergie apportée par l'opérateur : Eop = ½K/r0

énergie cinétique qu'il faut lui fournir

½mv² =½K/r0

d'où v²= K/(mr0)

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