Aurélie nov2000


haut parleur (Capes 95)

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1

oscillations libres

La partie mécanique d'un haut parleur est constituée d'une membrane mobile, en forme de cône, solidaire d'un mandrin cylindrique sur lequel est enroulé le fil du bobinage. L'ensemble est maintenu en place par des suspensions élastiques qui jouent le rôle de guidage (le mouvement est limité à une translation de l'équipage mobile) . La partie mobile peut être représentée par une masse m, assimilable à un point matériel, mobile sans frottement sur une tige horizontale Oz. Elle est rappelée vers sa position d'équilibre (le point O) par un ressort de masse négligeable, de raideur k, pouvant travailler en extension comme en compression. On repère le point M par son abscisse z.

  1. On écarte M de sa position d'équilibre et on le lache sans vitese à l'instant t=0, à l'abscisse z0. Ecrire l'équation différentielle du mouvement de M.
  2. En déduire la pulsation et la période T0 du mouvement.
  3. Calculer la période et la fréquence si m=8g et k=1536 Nm-1.

corrigé


systéme étudié : la masse m; référentiel du laboratoire supposé galiléen.

trois foces s'exercent sur le point M :

le poids , la réaction du système de quidage et la tension du ressort

La relation fondamentale de la dynamique s'écrit :

L'équation différentielle est celle d'un oscillateur harmonique :

application numérique : w0=438,2 rad s-1; T0=14,3 ms ; N0=69,8 Hz


2

oscillations libres amorties

L'action de l'air ambiant sur la membrane se résume à une force colinéaire à la vitesse et de sens contraire , le coef de proportionalité étant positif

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  1. Ecrire la nouvelle équation différentielle du mouvement
  2. Le système fonctionne en régime critique, déterminer en fonction de k et m la valeur fc de f. calculer fc.
  3. Ecrire l'équation différentielle en fonction de w0 et a=f / fc.
  4. La masse m étant abandonnée sans vitesse en z0 à l'instant t=0, donner l'allure des graphes z=f(t) lorsquea est supérieur, inférieur ou égal à 1.
  5. Dans le cas où a est inférieur à 1, déterminer l'expression de la pseudo période T en fonction de T0 et a. Calculer T pour a =0,1.
  6. Lorsque a est nettement inférieur à 1, on peut considérer que le mouvement est sinusoïdal de périodeT0.( z=a cos(wt+f) Exprimer l'énergie E de cet oscillateur en fonction de k et a puis en fonction de m, w0 et a.
  7. Calculer la valeur W du trawail de la force de frottement mis en jeu au cours d'une période en fonction de m, a, w0 et a.
  8. En déduire l'expression du rapport Q=-2p E / W en fonction de m, f et w0 . Quel nom donne t-on habituellement à Q

corrigé


Aux forces précédentes on ajoute la force de frottement

l'équation caractéristique associée à l'équation différentielle s'écrit :

m r²+f r+k = 0

La nature des solutions dépend du signe du discriminant D=f ²-4km

Le régime critique correspond à D=0 soit fc²= 4km

valeur numérique fc=7 kg s-1.

L'équation différentielle s'écrit en remplaçant k/m par w0² et f par afc.

z"+ 2aw0 z'+w0² z= 0

le discriminant réduit s'écrit : D'= w0² (a²-1)

  • a<1 D'<0 frottement faible régime pseudopériodique
  • a=1 D'=0 régime critique
  • a>1 D'>0 , frottement important, régime apériodique.

frottement faible a<1, les solutions de l'éqution différentielle sont de la forme :

à t=0 : z=z0 et z'=0 permettent de déterminer A et j.(A=z0et j=0)

La pseudo-période est égale à : ( a très faible devant 1)

application numérique : T=14,3 ms

l'écart relatif est a²/2 = 0,5%


L'énergie de cet oscillateur est la somme de son énergie potentielle élastique ( énergie potentielle de pesanteur est constante, mouvement sur une horizontale) et de son énergie cinétique.

E=0,5 mv²+0,5 kz² = 0,5 mw0²sin²(w0t+j)+0,5 ka²cos²(w0t+j)

or k=mw0² d'où E=0,5 ka².

travail de la force de frottement au cours d'une période :

Expression du facteur de qualité Q de l'oscillateur :

 


3

oscillations forcées

Sur le mandrin cylindrique de l'équipage mobile , on enroule sous forme de spires jointives une longueur l de fil conducteur et l'ensemble est plongé dans un champ magnétique radial de norme constante.
  1. Déterminer la force magnétique exercée sur l'enroulement lorsqu'il est parcouru par un courant i.
  2. On impose un courant i sinusoïdal i=I0sin wt. Ecrire la nouvelle équation différentielle du mouvement de M en fonction de w0, a,i B, l et m. Quelle est la signification physique de l'équation sans second membre ? Qu'appelle t-on régime forcé ?
  3. On cherche en régime forcé une solution de la forme z=a cos (wt.+j). Déterminer a et j.
  4. Tracer l'allure de la courbe a/I0 =f(t) si a<<1 et a>>1. Faire apparaître la grandeur Q sur le graphique.

corrigé


force de Laplace exercée sur un élément de courant : 

Il suffit d'ajouter la force de Laplace au autres forces

mz"=-fz'-kz+ilB

soit z"+ 2aw0 z'+w0² z = Bl/m I0cos(wt)

La solution de l'équation différentielle sans second membre correspond au régime transitoire. Ce régime disparaît au bout d'un temps assez court, quelle que soit la valeur de a, pour faire place à un régime permanent

La solution générale de l'équation différentielle est la somme de la solution générale de l'équation sans second membre et de la solution particulière acos(wt). Le régime permanent correspond au régime foré imposé par l'exitateur.


solution de l'équation (méthode utilisant les nombres complexes).

On trouve :


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étude énergétique

La bobine du haut parleur de résistance r et d'inductance L est alimentée par une tension u variable.
  1. L'équipage mobile étant animé d'une vitesse v, calculer la valeur de la fem aux bornes de la bobine.
  2. Ecrire l'équation aux mailles relative au circuit de l'enroulement.
  3. En combinant cette relation à l'équation différentielle précédente, montrer que le produit ui se met sous la forme de 5 termes dont on donnera la sigification.
  4. Bilan de puissance de fonctionnement : la puissance acoustique est mesurée à l'aide d'un sonomètre. Le haut parleur est monté sur un baffle, il rayonne de façon isotrope dans le demi espace face au haut parleur.. Le sonomètre étant placé à 1 m du haut parleur, on peut considéré que la souce est quasi ponctuelle. Le haut parleur est alimenté par une tension sinusoïdale de fréquence variable mais de valeur efficace u constante. L'intensité sonore en dB est Idb=10 log (I/10-12)
    fréquence Hz
    P électrique watt
    Intensité dB
    60
    0,196
    89
    200
    0,847
    99
  • Calculer l'intensité acoustique pour les 2 fréquence données.
  • En déduire la puissance acoustique émise par le haut parleur et son rendement acoustique.
  • Que devient la puissance électrique non transformée en puissance acoustique.
corrigé


 e= -Blv

l'équation électrique relative au circuit s'écrit :

multiplier la première par i et la seconde par v, puis ajouter :

ui : puissance reçue par le dipole

ri² : puissance dissipée par effet joule

0,5 Li² : puissance stockée dans la bobine

0,5 mv²: énergie cinétique de l'équipage mobile

fv² : puissance de la force de frottement

0,5 kz² : énergie potentielle élastique


La puissance acoustique émise sur une demi sphère est égale à 2pI

A 60 Hz, Pa=5 mW et à 200 Hz, Pa=50 mW.

rendement : pa/ p=2,5 % à 60Hz et 6 % à 200 Hz.

La puissance moyenne fournie par le générateur est égale à la somme de la puissance sonore rayonnée par la source et de la puissance perdue par effet joule.

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