Aurélie décembre 2000


devoirs en terminale S

gare de triage ( France bac juin 98)

 


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1

étude du coefficient de résistance à l'avancement r

Dans tout l'exercice, les wagons seront assimilés à des solides en translation, leurs mouvements seront étudiés dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Les résistances aux passages dans les courbes et les perturbations liées aux changements de pente seront négligées.

Dans une gare de triage, les wagons sont séparés au sommet d'une butte ( Ils descendent un à un la rampe R et ils sont ensuite aiguillés vers une voie de garage où ils devront arriver au contact d'autres wagons pour former un nouveau train. Cette opération, appelée le "tir au but" par les professionnels, utilise des freins de voie F1 et F2.

On appelle base de mesure M un dispositif comportant différents types de capteurs. La base de mesure M1 est utilisée pour la détermination du coefficient de résistance r à l'avancement et la base de mesure M2 est un autre dispositif utilisé pour la détermination de la longueur de rail restant à parcourir. L'ensemble de ces dispositifs permet la régulation de la vitesse de chaque wagon.

Les frottements qui s'exercent sur un wagon sont modélisés par une force et de valeur f = m.r, opposée au déplacement , où m est la masse du wagon et r le coefficient de résistance à l'avancement.

  1. Une étude préalable des variations du coefficient de résistance à l'avancement r en fonction de la valeur v de la vitesse donne les résultats rassemblés dans le graphe ci dessous, pour quatre wagons différents. Pour les wagons testés, le coefficient de résistance à l'avancement r dépend-il sensiblement de la vitesse dans le domaine étudié ? Justifier d'après le document.
  2. Quelle valeur peut-on prendre pour le coefficient de résistance à l'avancement du wagon n° 4 ?
  3. La base de mesure M1 est située sur une partie horizontale des voies. Faire le bilan des forces qui agissent sur un wagon qui passe dans la base de mesure M1. Les représenter en faisant un schéma sur la copie.
  4. Montrer que, dans la base de mesure, M1, l'accélération d'un wagon a pour valeur a = r.
  5. La base de mesure M1 permet de connaître la valeur v de la vitesse à différentes dates t. L'ensemble des points de mesure (v,t), obtenus pour un wagon qui passe dans cette base, se répartissent sur une droite moyenne de type v = - k.t + p. Montrer que son coefficient directeur permet de déterminer la valeur du coefficient de résistance à l'avancement du wagon.

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corrigé



Le coefficient de résistance à l'avancement ne dépend pas de la vitesse, les droites étant horizontales.

r = f(v) est une fonction constante.

r voisin de 0,033 N kg-1 (wagon 4).

 la somme vectorielle des forces appliquées au wagon est égale au produit de la masse par l'accélération.

Suivant l'axe j : RN = mg et suivant i : -f = ma avec f= m r

d'où la norme de l'accélération est égale à r.


le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :

v=-k t +p donne v' = a = -k avec en plus norme de l'accélération = r.

 



2

rôle du frein primaire

Situé derrière la base de mesure M1, ce frein doit laisser à chaque wagon une vitesse de valeur vA suffisante, à sa sortie en A, pour qu'il puisse atteindre l'extrémité D des voies de garage avec une vitesse de valeur vD. On ne tiendra pas compte dans cette partie du frein secondaire.

  1. Exprimer le travail de chacune des forces appliquées à un wagon pour le trajet AD. On note h la dénivellation entre les points A et B. On pose L = AB + BD. On pourra décomposer le calcul selon les deux parties AB et BD qui seront assimilées à des portions de droite.
  2. Démontrer l'expression suivante : V²A = 2(r.L - g.h) + V²D
  3. Calculer la valeur vA de la vitesse à la sortie du frein primaire d'un wagon de coefficient de résistance à l'avancement r égal à 0,032 N.kg-1 pour qu'il s'arrête en D lorsque L = 800 m et h = 1,0 m. On prendra pour l'intensité de la pesanteur g = 9,8 m.s-2

corrigé


sur le trajet AB:

travail des frottements : - f AB = -mrAB

travail du poids : mgh

l'action RN normale au plan ne travaille pas.

sur le trajet BD:

travail des frottements : - f BD = -mrBD

le poids, perpendiculaire au plan, ne travaille pas

l'action RN normale au plan ne travaille pas.

au total : mgh - mr(AB+BD)= m(gh-rL)

La somme des travaux ci dessus est égale à la variation de l'énergie cinétique :

0,5 mv²D-0,5 mv²A =m(gh-rL)

D-v²A = 2(gh-rL)

A = 2(rL-gh) +v²D.


calcul de la vitesse en A, la vitesse en D étant nulle :

A = 2(0,032*800-9,8*1) = 31,6 et vA=5,62 ms-1.



3

rôle du frein secondaire

 En réalité, on souhaite amener le wagon au contact des wagons déjà présents sur la voie de garage et obtenir son accrochage automatique. Du fait du remplissage des voies de garage, la distance qui reste à parcourir est variable suivant le nombre de wagons déjà présents. La position du dernier wagon sur la voie sera fournie par la base de mesure M2. Le frein secondaire va prendre en compte ces autres paramètres pour réaliser le tir au but avec précision.

  1. Pour assurer un accrochage automatique des wagons il faut une certaine valeur vE de la vitesse au moment du choc. En remarquant que les voies de garage CD sont horizontales,donner la relation entre la valeur vC de la vitesse à la sortie du frein secondaire et la valeur vE de la vitesse en E si la distance qui reste à parcourir est L' = CE.
  2. La valeur vE de la vitesse doit être comprise entre 0,50 m.s-1 et 1,5 m.s-1 pour assurer l'accrochage et rester dans les normes de sécurité pour la marchandise en évitant des chocs trop violents. En déduire un encadrement pour la valeur vC de la vitesse à la sortie du frein secondaire dans le cas où r est égal à 0,032 N.kg-1 et L' est égale à 400 m.

corrigé


seule la force de frottement travaille, poids et action RN étant perpendiculaires au plan.

-f CE = -mrL'

ce travail est égal à la variation de l'énergie cinétique 0,5 mvE² -0,5 mv²C.

vE² = v²C- 2rL' ou vC² = v²E+ 2rL'

valeur minimale de la vitesse en C :

vC² = 0,5² +2*0,032*400=25,85 et VC=5,08 ms-1.

valeur maximale de la vitesse en C :

vC² = 1,5² +2*0,032*400=27,85 et VC=5,28 ms-1.




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