Aurélie 01/02
four à induction

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Dans un solénoïde très long, d'axe Oz, comptant n spires par mètre, on place un barreau cylindrique métallique de longueur h et de rayon R, dont l'axe est confondu avec celui du solénoïde. Un courant i = i0 cos (wt) traverse le solénoïde.

On travaillera avec les coordonnées cylindriques. La conductivité du conducteur est notée g.

Les grandeurs écrites en bleu et en gras sont des vecteurs.

  1. Le champ créé dans le solénoïde est tel que le potentiel vecteur A = ½B^OM . Avec M qui repère la position du point intérieur au solénoïde. Déterminer l'expression du champ électromoteur en un point du cylindre conducteur.
  2. Ce champ donne naissance à des courants de Foucault dont on déterminera la densité volumique jF. On négligera le champ propre.
  3. Soit le tore de section carré pris dans le conducteur

    - Déterminer la puissance moyenne <P> dissipée par effet Joule dans ce tore élémentaire d'épaisseur dz, de rayon intérieur r .
    - En déduire le puissance moyenne totale dissipée dans le cylindre.

 


corrigé
champ électromoteur :

le conducteur cylindrique est placé dans un champ magnétique B variable au cours du temps : il apparaît un champ électrique Em et des courants dans le conducteur (courants de Foucault) .

Le système est invariant par rotation autour de l'aze Oz et par translation le long de l'axe ( exception faite des bords).

Le champ magnétique crée dans un solénoïde est colinéaire à l'axe Oz du solénoïde et ce champ est invariant par rotation autour de l'axe Oz.

B = m0 n i(t) uz.

de plus : OM = r ur + z uz.

l'expression du potentiel vecteur s'écrit : A = ½m0 n i(t) uz^(r ur + z uz)

A = ½m0 n i(t) r uq = ½m0 n r i0 cos (wt)uq

pour obtenir l'expression du champ électromoteur -Em, dériver le potentiel vecteur A par rapport au temps :

-Em = -½m0 n r i0 w sin (wt)uq

Em = ½m0 n r i0 w sin (wt)uq


densité volumique de courant :

La densité volumique de courant qui prend naissance dans le cylindre est j = g Em.

j = ½m0 n r i0 w g sin (wt)uq

Le courant circule en boucle dans le cylindre.


puissance moyenne :

Le tore contient des lignes de courant.

L'intensité di qui y circule s'exprime à partir de flux de j à travers la section du tore ds =dr.dz

di = j. ds = j uq dr dz uq = j dr dz

La résistance élémentaire du tore est : dR = l / ( g ds) = 2pr / ( gdr dz)

La puissance élémentaire dissipée à travers le tore est dP = dR (di)²

dP = 2pr / ( gdr dz) (j dr dz)² = 2p /g r j² dr dz

remplacer j par son expression :

dP = 2p /gm0 n r i0 w g sin (wt)]² r dr dz

dP = ½ p g (m0 n i0 w sin² (wt) r3 dr dz

puissance moyenne :

La valeur moyenne de sin² (wt) est égale à ½.

<dP> = 1/4 p g (m0 n i0 w r3 dr dz

pour l'ensemble du conducteur:

intégrer de 0 à R l'expression r3 dr soit 1/4 R4.

intégrer dz entre 0 et h soit h.

<P> = 1/16 p g (m0 n i0 w )² R4 h.

volume du cylindre : V =p R² h

<P> = 1/16 g (m0 n i0 w )² R2 V.

La puissance moyenne dissipée étant proportionnelle au carré de la pulsation et au volume du cylindre les fours à induction sont d'autant plus efficaces que les pièces sont massives et la fréquence du courant élevée.

Par contre dans le cas des transformateurs, il faut limiter les courants de Foucault source d'échauffement et on diminue le volume des pièces métalliques en feuillettant les circuits magnétiques.

 

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