Aurélie 09/03

Les ondes sismiques centre étranger 03

avec calculatrice




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A- étude d'un séisme :  

Lors d'un séisme, la Terre est mise en mouvement par des ondes de différentes natures qui occasionnent des secousses plus ou moins violentes et destructrices en surface. On distingue :

- Les ondes P, les plus rapides, se propageant dans les solides et dans les liquides.

- Les ondes S, moins rapides, ne se propageant que dans les solides.

Les schémas ci-dessous modélisent la progression des ondes sismiques dans une couche de terre :

 

  1. Les ondes P, appelées ondes de compression sont des ondes longitudinales ; les ondes S, ondes de cisaillement sont des ondes transversales. Définir onde transversale et indiquer le schéma correspondant à chaque type d'onde.
  2. Le séisme s'est produit à San Fransisco en 1989. Le document ci-dessous présente le sismogramme obtenu lors de ce séisme à la station EUREKA, située au nord de la Californie.

    L'origine des dates (t=0) est le début du séisme à San Fransisco..
    - A quel types d'ondes (S ou P) correspond chaque train ? Justifier à l'aide du texte introduction.
    - Le début du séisme a été détecté à EUREKA à 8h 15 min 20 s, déterminer l'heure à laquelle le séisme s'est produit à l'épicentre.
    - Sachant que les ondes P se propagent à une célérité moyenne de 10 km/h, calculer la distance entre l'épicentre et EUREKA.
    - Calculer la célérité moyenne des ondes S.

B- Oscillateur mécanique susceptible d'être excité par une onde sismique logitudinale.

L'onde sismique longitudinale est modélisée par une onde sinusoïdale d'amplitude As et de période Ts qui se propage suivant une direction horizontale. Cette onde peut agir sur un oscillateur mécanique horizontal et provoque des oscillations horizontales d'amplitude A et de période T. On étudie le comportement de l'oscillateur horizontal dans différentes situations.

  1. Oscillateur libre : l'oscillateur est constitué d'un ressort de raideur k et d'un solide de masse m ( la masse du ressort est négligeable devant m)

    Le point O correspond à la position de G à l'équilibre du système. Tous les frottements sont négligés.
    - Donner le nom des forces qui s'exercent sur le solide lorsqu'il occupe la position d'équilibre.
    - Le système est mis en oscillation : donner le nom des forces qui s'exercent sur le solide à une date t. Faire un schéma.
    - En appliquant la deuxième loi de newton au solide, écrire l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie. La solution de cette équation est de la forme x(t) = xmax cos (2pt/ T + j0) . Donner le nom et l'unité des grandeurs qui interviennet dans cette expression.
    - Donner l'expression de la période propre de l'oscillateur en fonction de k et m.

  2. Etude des facteurs qui pourraient influencer sur la période.
    -expérience 1 : m=250 g ; k= 10 N/m ; vitesse initiale nulle ; oscillateur écarté de 5 cm à droite. période mesurée T=1s.
    -expérience 2 : m=250 g ; k= 10 N/m ; vitesse initiale non nulle ; oscillateur écarté de 5 cm à droite et lancé vers la gauche . période mesurée T=1s.
    -expérience 3 : m=250 g ; k= 10 N/m ; oscillateur écarté de 7 cm à droite et laché sans vitesse. x(t=0 ) = 5 cm puis x(t) décroît ). période mesurée T0=1s.

    - Vérifier par le calcul la valeur de la période.
    - Déterminer les conditions intitales x(t=0 ) et v(t=0) de l'expérience 3.
    - La période de l'oscillateur dépent-elle des conditions initiales de mise en oscillation?
    - Déterminer l'amplitude des oscillations dans chaque expérience. L'amplitude dépend-t-elle de la vitesse initiale ? L'amplitude dépend-telle de l'élongation initiale ?

  3. Facteurs qui pourraient influer sur l'amplitude :
    - expérience 4 : m=50 g; k = 10 N/m ; oscillateur écarter de 7 cm à droite à t=0 et laché sans vitesse
    - expérience 5 : m=250 g; k = 7 N/m ; oscillateur écarter de 7 cm à droite à t=0 et laché sans vitesse
    -Déterminer la valeur de la période pour chaque expérience. L'amplitude des oscillations dépend-elle de la période de l'oscillateur ?
  4. Oscillateur soumis à des oscillations forcées : L'excitateur oscille avec une période TE et une amplitude AE. L'oscillateur précédent (m=250 g et k = 10 N/m) atteint, après un régime transitoire, un régime d'oscillations sinusoïdales de période T.
    - expérience 6 : TE= 0,6 s, AE= 5 cm.
    - expérience 7 : on modifie la période de l'excitateur en conservant AE. On mesure la période T de l'oscillateur et on trace T= f(TE)
    - expérience 8 : on modifie la période de l'excitateur en conservant AE. On mesure l'amplitude de l'oscillateur et on trace xmax= f(TE)

    - Déterminer ( graphe 6) l'amplitude et la période de l'oscilateur. Les comparer à AE et TE.
    - Quel renseignement sur la période de l'oscilateur nous donne le graphe 7. Justifier.
    - Quel phénomène le graphe 8 met-il en évidence ? Evaluer graphiquement la période TR de ce phénomène et comparer à T0, période propre de l'oscilateur.

  5. Oscilateur soumis à une onde sismique longitudinale : l'onde sismique longitudinale est assimilée à une excitation sinusoïdale de période constante Tset d'amplitude As.
    - L'oscilateur est dans le plan horizontal. Pour que l'excitation de l'oscillation soit maximale, quelle doit être la direction privilégiée de l'onde sismique longitudinale ?
    - L'oscillateur est soumis à cette onde sismique longitudinale. Après le régime transitoire quelle sera la période T des oscillations de l'oscillateur soumis à l'onde sismique ?
    - En utilisant le graphe 8 que peut-on dire de l'amplitude des oscillations de l'oscillateur pour une même amplitude As de l'onde sismique.
    a- Si la période de l'onde sismique est égale à la période propre de l'oscillateur ?
    b- Si la période de l'onde sismique est supérieure ou inférieure à la période propre de l'oscillateur.

 


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corrigé
onde transversale : la déformation du milieu est perpendiculaire à la direction de propagation de l'onde ( schéma 1).

Le train A correspond aux ondes les plus rapides : ondes P; le train B aux ondes les moins rapides, ondes S.

Le séisme s'est déclenché à l'épicentre 40 s plus tôt soit 8 h 14 min 50 s.

distace épicentre- EUREKA = 10*40 = 400 km.

les ondes S parcourent 400 km en 65 s soit : v= 400 / 65 = 6,1 km/s.


A l'équilibre le solide est soumis à deux forces opposées : son poids et l'action du support.

à une date t, il faut ajouter la tension du ressort :

 

écrire la 2 ème loi de Newton sur l'axe horizontal : 

-kx = m x" soit x"+ k/m x=0 ou encore x" +w0² x=0 (1) 

pulsation w0 = 2p / T0.

xmax : amplitude (m ) ; T0 : période propre (s) ; j0 phase à la date t=0 ( rad) ; x : élongation (m) ; t : temps (s)

 

m=0,25 kg; k = 10 N/m ; T0 = 6,28 ( 0,25/10) ½ = 0,993 s en accord avec la valeur lue sur les graphes

expérience 3 : amplitude xmax=7 cm ; vitesse initiale nulle ( à t=0 la tangente à la courbe est horizontale).

xmax 1 =5 cm   ; xmax 2 =7 cm   ; xmax 3 =7 cm   ;

La période est identique ( lecture sur les 3 graphes), donc indépendante des conditions initiales.

L'amplitude dépend de la vitesse initiale ( graphes 1 et 2 (élongation initiale identique))

et de l'élongation initiale ( graphes1 et 3 (vitesse initiale identique))


expériences 4 et 5 : calcul de la période

T0 4 = 6,28 ( 0,5/10) ½ = 0,444 s   ; T0 5 = 6,28 ( 0,25/7) ½ = 1,19 s   ;

L'amplitude des oscillations ne dépend pas de la période de l'oscillateur.  


expérience 6 : T=TE=0,6 s et xmax= 3cm différent de AE.

graphe 7 : T=f(TE) est une droite de coefficient directeur égal à 1 : donc T=TE; l'excitateur impose sa fréquence à l'oscillateur.

graphe 8 : phénomène de résonance d'intensité ( xmax passe par une valeur extrème); à la résonance T0=TE.


la direction de propagation de l'onde longitudinale et l'axe de l'oscillateur doivent être parallèlle.

l'onde sismique ( l'excitateur) impose sa période Ts à l'oscillateur ( oscillations forcées).

si Ts= T0, xmax passe par une valeur extrème, bien supérieure à As.( résonance)

si Tsdiffére de T0, xmax passe par une valeur qui dépend de TE, valeur qui peut être supérieure à As ou inférieure ( graphe 8)

 



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