Aurélie 10 /02

Bépi-Colombo : des images de Mercure Asie
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 En aout 2009, l'ESA envera simultanément deux sondes vers la planète Mercure. Les deux sondes seront mises en orbite autour de Mercure. L'une l'orbiteur "magnétosphérique" chargée d'étudier le champ magnétique sera placée en orbite elliptique. L'autre l'"orbiteur planétaire" , chargée de prendre des photos de la surface sera placée sur une trajectoire circulaire de rayon r =3,5 103 km.

G= 6,67 10-11 S.I ; masse de mercure M= 3,3 1023 kg.

  1. On s'interesse à l'orbiteur planétaire, de masse m, et on fait les hypothèses simplificatrices suivantes :
    La planète Mercure est à répartition sphérique de masse. Le référentiel mercurocentrique utilisé est galiléen. L'orbiteur planétaire décrit une trajectoire circulaire et il n'est soumis qu'à l'attraction de Mercure.
    - Quand dit-on qu'un référentiel est galiléen ?
    - Par analogie avec le référentiel géocentrique, décrire le référentiel mercurocentrique.
  2. La force gravitationnelle exercée par Mercure sur l'orbiteur S a pour expression vectorielle F=GMm/r² uCS. ( les vecteurs sont écrits en gras et en bleu)
    - Rappeler la signification de chacune des lettres.
    - L'orbiteur exerce t-il une force sur Mercure ? Si oui la valeur est-elle plus petite, égale ou plus grande que celle de la force exercée par Mercure sur l'orbiteur. Justifier.
    - En applicant dans le référentiel galiléen la seconde loi de Newton à l'orbiteur, donner l'expression vectorielle de l'accélération de son centre d'inertie.
    - Donner les caractéristiques ( direction, sens et valeur) de cette accélération.
    - Représenter sans souci d'échelle le vecteur accélération en deux points différents de l'orbite.
  3. Le mouvement de l'orbiteur est circulaire. Montrer qu'il est uniforme.
    - Etablir l'expression littérale de la vitesse puis la calculer.
  4. On donne trois expressions de la période de révolution de l'orbiteur autour de Mercure :
    (1) T= 2p (r /(GM))½ ; (2) T= 2p (GM/ r3)½ ; (3) T= 2p ( r3/(GM))½ ;
    - Sachant que la constante de gravitation a pour dimension L3M-1T-2 déterminer par analyse dimensionnelle l'expression correcte de la période.
    - Déterminer sa valeur numérique en seconde.
  5. La forme complexe de la trajectoire d'approche a pour but de mettre l'orbiteur en orbite polaire, c'est à dire dant le plan contenant l'axe polaire de mercure. Quel est l'interêt de cette situation pour l'orbiteur planétaire ?

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corrigé
Dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie d'un solide pseudo-isolé est soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme, soit au repos et inversement.

référentiel : Mercure

origine du repère : le centre de mercure

les trois axes pointent vers des étoiles lointaines fixes.

force de gravitation :

F : force en newton ; G constante de gravitation ; M et m : masse en kg ; r distance du centre de Mercure au satellite exprimée en mètre.

l'orbiteur exerce sur Mercure une force opposée à la force exercée par Mercure sur l'orbiteur ( 3ème loi de Newton). ces deux forces ont la même norme.

 

L'accélération est centripète.

L'orbiteur est soumis à la seule force de gravitation centripète, perpendiculaire à la vitesse : en conséquence cette force ne travaille pas et ne modifie pas l'énergie cinétique de l'orbiteur.

La valeur de la vitesse de l'orbiteur est constante : le mouvement est uniforme.

v² = GM/ r = 6,67 10-11 * 3,3 1023 / 3,5 106 = 6,3 106

v= 2,5 103 m/s.


2p est sans dimension

(1) r / (GM) : r longueur ; M masse en kg ; G : L3M-1T-2

soit L L-3M1T2 M-1 ; soit L-2T2

(2) GM/r3 : r longueur ; M masse en kg ; G : L3M-1T-2

soit L3M-1T-2 M L-3 ; soit T-2

(3) r3 / (GM) : r longueur ; M masse en kg ; G : L3M-1T-2

soit L3 L-3M1T2 M-1; soit T2 expression correcte.

T = 2*3,14 ((3,5 106)3 / (6,67 10-11 * 3,3 1023))½=8,76 103 s = 2 h 26min.

La planète tourne autour d'un axe passant par les pôles et l'orbiteur a une orbite polaire : ce dernier peut survoler et photographier toute la surface de Mercure au cours de plusieurs révolutions.



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