Aurélie 09/02

détermination de l'inductance d'une bobine, énergie

Polynésie 9/01

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On se propose de déterminer l'inductance d'une bobine par deux méthodes différentes.

partie A :

On alimente le dipôle "bobine résistance R" par un générateur basse fréquence en série avec une résistance de l'ordre de 1kW. Aucune des bornes de sotie du générateur n'est reliée à la masse. La mesure de la résistance de la bobine donne r= 8 ohms et R est une résistance variable.

 

sensibilité verticale voie 1 : 20 mV/div; sensibilité verticale pour uS : 0,5 V/div ; durée du balayage : 5 ms/div.

L'oscilloscope est branché comme indiqué sur le schéma. La touche ADD de l'oscilloscope permet d'observer la somme uS= u1 + u2. Sur la figure 2 on a reproduit avec la même origine des temps les courbes u1(t) et uS(t).

  1. Quel appareil permet de mesurer simplement la résistance r de la bobine.
  2. Exprimer en fonction de i(t), r, R et L les tensions suivantes : uAM, uBM, uS(t).
  3. L'oscillogramme ci-desus a été obtenu en ajustant R à la valeur de r. Montrer que dans ce cas uS(t) = - L/R du1/dt.
  4. Déterminer L en exploitant l'oscillogramme.

partie B:

On réalise le montage ci-dessous avec un générateur de tension continue ; le condensateur a une capacité C = 0,55 mF. On utilise l'ordinateur pour enregistrer au cours du temps les variations de la tension uC aux bornes du condensateur. On charge le condensateur puis on bascule l'interrupteur pour obtenir la décharge oscillante.

  1. Vérifier que l'expression 2p racine carrée (LC) est homogène à un temps.
  2. Déterminer la pseudo-période des oscillations à partir de l'enregistrement.
  3. En déduire la valeur de l'inductance L en assimilant la pseudo-période à la périodes des oscillations libres.

étude énergétique :

  1. Exprimer l'énergie stockée dans le condensateur à la date t1=4,2ms. Calculer sa valeur.
  2. Déterminer l'énergie stockée dans le circuit à la même date.Justifier.
  3. En négligeant l'amortissement sur un quart de période, calculer l'intensité du courant dans le circuit à la date t2 = t1+T/4.
  4. Expliquer l'origine de l'amortissement des oscillations. 

 

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corrigé
la résistance de la bobine est mesurée à l'aide d'un ohmmètre : la bobine ne doit pas faire partie d'un montage.

uAM = u1 = - Ri, le courant allant de M vers A

uBM= u2 = Ldi/dt + ri

uS= (r-R) i +Ldi/dt

si r=R alors uS = Ldi/dt avec i = -u1 / R soit uS = -L/R du1/dt.

lecture graphe sur l'intervalle [0 ; 15 ms]

du1/dt = -0,14 / 0,015 = -9,33 V/s

signe moins car fonction décroissante ; tension en volts et temps en seconde.

uS= 1V d'où : 1 = -L/8 (-9,33) soit L= 8/9,33 = 0,86 H.

2p : sans dimension

L: inductance (henry)

or u=L di/dt soit L = u dt / di soit L en volt seconde ampère-1.[V][s][A]-1.

C capacité en farad : C= Q/U = It/ U soit C en [A][s][V]-1.

LC en [V][s][A]-1[A][s][V]-1 soit [s]²

racine carrée (LC) en seconde.

L= T² / (4p²C) avec T= 4,2 10-3 s ( lecture graphe)

L= (4,2 10-3)² / (4*3,14²*0,55 10-6) =0,82 H.

à la date t1 = 4,2 ms, la tension aux bornes du condensateur est maximale soit U=3,5 V

Ce dernier stocke toute l'énergie du dipôle, l'intensité est nulle et la bobine inductive ne stocke pas d'énergie ( ½Li² = 0)

E = ½CU² = 0,5*0,55 10-6 * 3,5² = 3,37 10-6 J.

 à la date t1 + 0,25 T, la tension aux bornes du condensateur est nulle

Ce dernier ne stocke aucune énergie, l'intensité est maximale et la bobine inductive stocke l'énergie ½Li²

E = ½Li² = 3,37 10-6 soit i²= 2*3,37 10-6 /0,84 = 8 10-6 .

imax = 2,8 10-3 A.

La résistance du dipôle est à l'origine de l'amortissement ( diminution de l'amplitude de la tension aux bornes du condensateur)

à suivre ...
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