Aurélie 09/02

à propos du traité d'artillerie de Diego Ufano (1613)

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Diego Ufano est un capitaine espagnol qui publie en 1613 à Bruxelles un traité dans lequel sont données pour la première fois des tables de tir ( portée du tir en fonction de l'angle de tir).

Trajectoire d'un boulet de canon selon les modèles en vigueur aujourd'hui.:

On considère un boulet de masse m, sortant du canon en un point O avec une vitesse v0 faisant un angle a ( angle de tir) par rapport à l'horizontale

  1. Effectuer l'inventaire des forces que subit le projectile depuis la sortie du canon jusqu'à son arrivée au sol.
  2. Etablir les équations horaires du mouvement du boulet en négligeant la résistance de l'air.
  3. Etablir l'équation de la trajectoire du boulet ( préciser le repère utilisé).

La portée du tir : la portée du tir d est la distance horizontale parcourue par le boulet lorsqu'il touche le sol. Pour simplifier on considère dans ce problème que le sol au niveau de l'impact à la même altitude que le point O.

Extrait des tables de tir données par Diego Ufano :

angle (degré)
portée (m)
65
25
796

30
869
48
42
955
45
967
intensité de la pesanteur g= 9,81 m/s²

  1. Montrer que la portée du canon, évaluée dans les conditions indiques ci-dessus est d = v0² cos (2a) / g
  2. En utilisant l'indication correspondante à l'angle de tir a =30°, de l'extrait de la table de tir, déduire la valeur de la vitesse initiale v0.
  3. Existe-t-il un autre angle pour lequel la portée serait identique à celle obtenue avec a =30° ? Si oui, lequel ? Justifier.

La trajectoire selon Diego Ufano et ses contemporains :

Le mouvement comporte trois phases. La première à son commencement dès la sortie de la bouche du canon, emporte toute la force et la vigueur de celui-ci : le mouvement est appelé "mouvement violent" et sa trajectoire est une ligne droite. La deuxième commence lorsque la trajectoire se courbe en un arc, le mouvement violent s'atténue : il s'agit du mouvement "mélé". Enfin la troisième phase est un mouvement rectiligne et dirigé selon la pesanteur du boulet, ( verticale) vers le sol : c'est le "mouvement nature".

  1. Relever dans le texte précédent les trois phases du mouvement du projectile depuis la sortie du canon jusqu'à son arrivée au sol
  2. Comment Diego Ufano explique t-il la première phase et la troisième phase du mouvement ?
    - Dire avec quelle grandeur Diego Ufano semble confondre le vecteur vitesse initiale v0 du modèle actuel.
  3. La trajectoire selon Diego Ufano est-elle compatible avec celle déduite des modèles en vigueur aujourd'hui ? Justifier.

 


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corrigé
référentiel terrestre galiléen ; le système étudié est le boulet.

chute libre ( boulet soumis uniquement à son poids) avec vitesse initiale.


portée :

lorsque le boulet retombe sur le sol horizontal, y=0, l'abscisse est égale à la portée d.

0 = -½ gd² /(v0²cos²a) + d sin a / cosa.

0= -½gd/(v0²cosa) + sin a .

½gd/(v0²cosa) = sin a .

d= 2 v0²cosa sin a/ g soit encore d = v0² sin (2a)/ g.

calcul de v0 si a=30° ( ou 60°)

v0² = dg / sin (2a) = 869*9,8 / sin60 = 9833,6 soit v0 = 99,16 m/s.

il existe un autre angle conduisant à la même portée ( avec la même vitesse initiale)

dans l'expression de la portée d figure sin (2a)

sin (2a) = dg /v0²

si dg /v0² est inférieure ou égal à 1 , il existe un angle b tel que sin (2b) = dg /v0²

soit sin(2a) =sin (2b)

2a1 = 2b

2a2 = 2b+p soit a2 =b+½p

a1 et a2 sont complémentaires.


phase 1 : mouvement "violent", mouvement rectiligne uniformément accéléré

phase 2 : mouvement mélé

phase 3 : mouvement "naturel", il s'agit d'une chute libre verticale.

Diego Ufano confond la vitesse initiale du boulet avec une force.

la trajectoire découlant du calcul ci-dessus ( partie A) est un arc de parabole. 


à suivre ...

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