Aurélie 09/02

saut à l'élastique Polynésie 01




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Le bungee est un élastique composé de 960 fils de latex naturel, provenant de la sève de'hévéa, d'une section de 10 cm². Il mesure en général une dizaine de mètres.

Déroulement de la séance de saut :

phase 1 : la personne est attachée à un baudrier intégral fixé à l'élastique ( lui même fixé à une grue). Elle est ensuite hissée en haut de la grue à l'aide d'une nacelle qui joue le rôle d'un ascenseur. La nacelle s'élève jusqu'au point A d'altitude YA = 60 m au-dessus du sol.

phase 2 : en position A, la porte de la nacelle est ouverte, il est demandé à la personne de sauter avec une faible vitesse initiale v0 de direction horizontale. Dans cette phase de saut, la personne est en chute libre jusqu'au point B' d'altitude YB'= 50 m ( ce qui signifie que l'élastique n'a aucune action sur la personne).

phase 3 : après que le sauteur a passé le point B', l'élastique commence alors à s'étirer : le sauteur effectue quelques oscillations avant de s'immobiliser et d'être ramené au sol.

accélération de la pesanteur g = 9,8 m/s².

  1. phase 1 : un sauteur de masse m= 70 kg est immobile dans la nacelle de masse M=200 kg et l'ensemble a pour centre d'inertie G.
    - Faire le bilan des forces extérieures qui agissent sur le système {nacelle + sauteur} lors de la montée.
    - La nacelle démarre avec une accélération verticale a1= 1 m/s², puis s'élève ensuite à vitesse constante et ralentit avec une décélération a2 de valeur 1,2 m/s². Calculer la tension du câble qui maintient la nacelle dans les 3 cas.
  2. phase 2 :
    - Faire le bilan des forces ( ou de la force) qui s'exerce(n) sur le sauteur. On néglige les frottements de l'air.
    - En utilisant le théorème du centre d'inertie, établir les équations horaires du mouvement du sauteur et l'équation de sa trajectoire en fonction de g, v0 et YA. L'origine de l'axe des y est prise au sol et celui-ci est dirigé vers le haut.
    - Calculer sa vitesse en B' en utilisant le théorème de l'énergie cinétique. v0 = 0,1 m/s.
    - Soit B le point d'abscisse XB=0 et YB=50 m. Calculer la distance BB' et montrer en comparant AB et BB' que l'on peut considérer la chute comme quasi-verticale.
  3. phase 3 : l'élastique que l'on assimilera à un ressort de constante de raideur k, commence à s'étirer en B' et oscille dans une direction quasi-verticale pendant environ 34s, durée pendant laquelle le sauteur a effectué quatre allers et retour - menus avant de s'immobiliser.
    - Comment qualifie-t-on de telles oscillations.
    - Estimer la constante de raideur k de l'élastique en assimilant la pseudo-période du sauteur à la période propre T0 = 2p racine carrée (m/k) d'un pendule élastique.

 


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corrigé
référentiel terrestre supposé galiléen ; système étudié : nacelle + sauteur.

sur l'axe Oz, la 2ème loi de Newton s'écrit : T-mg= ma soit T = m( a+g).

phase 1 : T1 = 270(1+9,8)= 2916 N.

phase 2 : T1 = 270(0+9,8)= 2646 N.

phase 3 : T3 = 270(-1,2+9,8)= 2322 N.


chute libre avec vitesse initiale horizontale :

 

vitesse en B' :

variation d'énergie cinétique entre les points A et B' :

DEc= ½mvB'² - ½ mv0²

seul le poids travaille : mg(YA-YB')

le travail du poids est égal à la variation d'énergie cinétique

½mvB'² - ½ mv0² = mg(YA-YB')

vB'² - v0² = 2g(YA-YB') soit vB'² = v0² + 2g(YA-YB').

vB'² =0,01 + 2*9,8( 60-50) = 196,01 soit vB' = 14 m/s.

distance BB' :

50 = yB' = -4,9 x²B'/0,01 +YA.

50-60 = -490 x²B d'où xB' = 0,143 m.

BB' = 0,143 m donc la chute est pratiquement verticale.


oscillations libres amorties

T0 = 34 / 4 = 8,5 s.

T0² = 4p² m/k d'où k = 4p²m/ T0² = 4*3,14²*270 / 8,5² = 147 N/m.


à suivre ...

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