Aurélie 04/02 /02

énergies potentielle, cinétique, mécanique

montée du plan incliné

mouvement dans une cuvette

saut en hauteur

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Un mobile de petite dimention, de masse m= 30g est lancé vers le haut d'un plan incliné d'un angle a =25° sur l'horizontale. L'objet glisse sans frottement. En O la vitesse est v0 = 5 m/s.

  1. Exprimer l'énergie potentielle du mobile en fonction de son abscisse x.
  2. Montrer que la somme de l'énergie potentielle et cinétique du mobile est constante.
  3. Calculer la valeur de cette somme.
  4. Déterminer pour quelle abscisse x1 la vitesse du mobile est v1 = 4 m/s.
  5. Avec quelle vitesse le mobile atteint-il le point B tel que x2 = 1,2 m ?
  6. Arrivé au point B le mobile quitte le plan incliné et tombe par terre dans le même plan horizontal que le point O. Quelle est sa vitesse v3 juste avant de frapper le sol ?

corrigé
O : origine de l'énergie potentielle de pesanteur.

énergie potentielle à l'abscise x : mg x sin a.


variation d'énergie cinétique entre O et X d'abscisse x :

½mv²-½mV²0.

seul le poids travaille au cours de la montée ( action du plan perpendiculaire au déplacement)

travail du poids = opposé de la variation de l'énergie potentielle = -mg x sin a.

théorème de l'énergie cinétique : ½mv²-½mV²0 = -mg x sin a.

½mv²+ mg x sin a = ½mV²0 = constante.

½mV²0 = 0,5*0,03*5² = 0,375 J.


abscisse x1 :

½mv²-½mV²0 = -mg x1sin a.

0,5*0,03*4² - 0,375 = -0,03*9,8 x1sin 25

x1 = 1,08 m.


vitesse en B :

½mv²B-½mV²0 = -mg x2sin a.

0,5*0,03v²B- 0,375 = -0,03*9,8*1,2 sin 25 d'où vB = 3,88 m/s.


vitesse en arrivant au sol :

entre O départ et l'arrivée au sol, l'énergie mécanique se conserve.

l'énergie potentielle de pesanteur en O est identique à l'énergie potentielle finale

donc l'énergie cinétique ne varie pas et v = 5 m/s.




Une petite bille de masse m=25g peut glisser dans une cuvette de rayon R=0,5 m; les frottements sont négligés. Sa trajectoire est un arc de cercle.

  1. Exprimer l'énergie potentielle du mobile au point S.
  2. Le mobile est abandonné sans vitesse initiale au point S0 tel que q0 = 60°. Calculer son énergie potentielle.
  3. Avec quelle vitesse le mobile passe t'il au point le plus bas de sa trajectoire.
  4. On reprend l'expérience en communiquant au mobile une vitesse initiale v0= 4 m/s. Le vecteur vitesse est orienté vers le bas et tangent à la trajectoire. Calculer la somme des énergies potentielle et cinétique en S0.
  5. Avec quelle vitesse le solide atteint-il le point B où il perd le contact avec la cuvette ?

     


corrigé

origine de l'énergie potentielle de pesanteur : point le plus bas C

énergie potentielle en S : mg(R-R cos q)

0,025*9,8*0,5(1-cos60) = 0,061 J.

au point le plus bas, l'énergie mécanique est sous forme cinétique

pas de frottement donc conservation énergie mécanique

0,061 = 0,5 mv²C = 0,5*0,025 v²C soit vC= 2,2 m/s.


énergie mécanique initiale : 0,061 + 0,5 mv²0.

0,061 + 0,5 * 0,025*4² = 0,261 J.

vitesse en B ( altitude R=0,5m)

0,261 = 0,5*0,025 v²B + 0,025*9,8 * 0,5 d'où vB =3,3 m/s.



Le reccord mondial de saut en hauteur est 2,45 m. Il est détenu par le cubain Javier Sotomayor. L'athlète a une masse de 85 kg et sera modélisé uniquement par son centre de gravité situé 1 m au dessus du sol.

  1. Au cours du saut son centre de gravité passe 10 cm au dessus de la barre. Calculer la variation de l'énergie potentielle .
  2. Après sa course d'élan l'athlète possède une vitesse de 5,55 m/s au pied de la barre. Quelle hauteur put-il franchir si on admet que toute l'énergie cinétique initiale est convertie en énergie potentielle de pesanteur.
  3. En réalité la composante horizontale de la vitesse au point le plus haut du saut est 0,63 m/s. Calculer la somme des énergies cinétique et potentielle avant le saut (au pied de la barre) et au point le plus haut. Conclure

corrigé

origine énergie potentielle de pesanteur : 1 m au dessus du sol

Dh = 1,55 m

variation d'énergie potentielle de pesanteur : 85*9,8*1,55 = 1291,15 J.


0,5 m v² = mgh

v² = 2gh d'où h = 5,55² / 19,6 = 1,57 m

soit 2,57 m au dessus du sol.

énergie mécanique au pied de la barre : 0,5*85*5,55² = 1309,1 J

énergie mécanique au point le plus haut :

85*9,8*1,55 +0,5*85*0,63² = 1308,1 J

la différence est inférieure à 0,1% donc : conservation de l'énergie mécanique lors du saut.



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