aurélie mai 2003

concours d'admission à l'institut de formation de manipulateurs d'électroradiologie médicale. Tours 03


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réponse d'une bobine à un échelon de tension

 

On se propose d'étudier l'établissement du courant au travers d'une bobine inductive et résistive lorsque celle-ci est soumise à un échelon de tension. Pour obtenir une indication sur la durée nécessaire à l'établissement d'un régime permanent, on utilise la grandeur notée t, appelée constante de temps du circuit et définie par t = L / S

A. Détermination expérimentale de la valeur numérique de t à partir de l'étude de la courbe d'établissement du courant. On a réalisé le montage ci-contre dans lequel on prendra R = R' + r = 50 W. Un dispositif permet d'enregistrer l'évolution, en fonction du temps, de l'intensité du courant traversant le circuit. A la date t = 0 s, on ferme l'interrupteur. On obtient ainsi le graphique ci-dessous.
  1. Soit I l'intensité du courant électrique qui traverse le circuit, en régime permanent. Etablir son expression littérale à partir des caractéristiques du circuit. Déterminer sa valeur numérique.
  2. Pendant le régime transitoire, on admet que l'intensité du courant atteint 63 % de sa valeur maximale I au bout d'un temps t.
    - Montrer que l'expression de t est homogène à un temps.
    - Déterminer la valeur de t, constante de temps du circuit, à partir du graphique
    - En déduire une valeur approchée de L.

B. Vérification de l'expression littérale de t : Pour effectuer cette détermination, l'expérience réalisée dans la partie A est reprise en conservant pour R la valeur de 50 W, mais en donnant à L différentes valeurs, 0,20 H puis 0,40 H puis 0,60 H et enfin 0,80 H. Les enregistrements effectués permettent d'obtenir le faisceau de courbes ci-dessous :

  1. Déterminer, à partir des enregistrements effectués, les valeurs de t correspondant aux différentes valeurs de L et compléter le tableau ci-dessous. Ce tableau est à reproduire sur votre copie.
    L en H
    0,2
    0,4
    0,6
    0,8
    t en ms

  2. A partir des résultats de cette étude expérimentale, trouver la relation existant entre t et L.
  3. En déduire la valeur expérimentale de R. Est-elle en accord avec les données ?

C. On admet que pour l'établissement du courant dans ce circuit, l'intensité est donnée par une relation du type i = A.e-t/t + B .

  1. Déterminer en expliquant votre démarche, les expression de A et B.
  2. En déduire la relation littérale complète donnant i.
  3. Exprimer cette relation avec les valeurs numériques de la partie A.

.


corrigé
uR + ubob = E ; uR = Ri ; ubob = ri+Ldi/dt ; en régime permanent di/dt =0

I= E/(R+r) = 5,4 / 50 = 0,108 A.

tracer la tangente à la courbe à la date t=0 ; cette tangente coupe l'asymptote horizontale à la date t = 2 ms= 2 10-3 s.

t = L / (R+r) soit L= (R+r)  t = 50*2 10-3 = 0,1 H.

ubob = Ldi/dt soit L = ubob dt/di

L est en volt* seconde / ampère : V s A-1 ; R est en volt / ampère : V A-1 ;

t s'exprime en : V s A-1 V-1 A soit en seconde.

 
L en H
0,2
0,4
0,6
0,8
t en ms
4
8
12
16

tracer une droite horizontale à u = 5,4*0,63 = 3,4 V ; elle coupe les courbes à des dates égales aux différentes constantes de temps.

i = A.e-t/t + B

au bout d'un temps suffisamment long, le régime permanent est atteint et le terme e-t/t s'annule : l'intensité est égale à B soit 0,108 A.

à t = 0, fermeture de K, l'intensité est nulle : 0 = A+B soit A= -B

i = B(1-e-t/t ) avec t = L / R = 2 ms

i = 0,108 (1-e-t/2 ) avec t en ms et i en ampère.

voiture volley


Un jeu d'enfant, schématisé partiellement ci-dessous, est constitué d'une piste sur laquelle une petite voiture peut se déplacer, guidée électriquement à l'aide d'une manette. On peut ainsi lui communiquer la vitesse désirée, ou lui faire effectuer diverses actions. L'une d'elles, consiste à éjecter une bille, de masse m, à l'aide d'une catapulte verticale placée dans ce véhicule. La bille doit ainsi passer au-dessus d'une barrière placée au-dessus du circuit, la difficulté consistant à provoquer l'éjection de la bille au bon moment pour y parvenir. Les dimensions sont les suivantes: h = 20 cm, m = 20,0 g , d0 = 5,0 cm. On supposera que lorsque la bille quitte le ressort, elle possède une vitesse verticale v0 = 2,0 m.s-l et se trouve à une hauteur d0 au-dessus du sol. On prendra g = 10 m/s². Dans tout l'exercice, l'action de l'air sera négligée. Le point de départ de la bille A sera pris comme origine du mouvement. L'origine du repère 0 est sur le sol à la verticale de A.

  1. La voiture roulant sur une portion rectiligne, horizontale et à la vitesse constante v, telle que vi = 1,0 m.s-1, établir dans le repère (Ox, Oy) indiqué, les équations horaires paramétriques de cette bille.
  2. En déduire l'équation cartésienne de sa trajectoire. L'exprimer d'abord de façon littérale, puis avec les données numériques fournies.
  3. Afin de réussir à faire passer la bille au-dessus de l'obstacle à franchir, déterminer entre quelles valeurs de D il faudra provoquer l'éjection de la bille.
  4. Déterminer l'abscisse de cette bille lorsqu'elle repassera dans le plan horizontal passant par A. ( Portée de ce tir)
  5. Quel temps aura-t-elle mis pour la parcourir ?
  6. Pendant ce temps-là, quelle sera la distance effectuée par la voiture qui a continué sa course à la même vitesse ?
  7. Pouvez-vous en déduire où devrait retomber la bille si le tir est réussi.

     


corrigé
avant éjection, la bille a un mouvement rectiligne uniforme x = vit = t et y = d0 = 0,05 m.

après éjection, la bille est en chute libre :

les vecteurs sont écrits en bleu et en gras.

a(0 ; -g); vinit ( vi ; v0) ; OM0(0 ; d0)

la vitesse est une primitive de l'accélération v(t) [vi ; -gt+v0]

le vecteur position est une primitive de la vitesse OM(t) [x = vi t ; y = -½gt²+v0 t ; v0t + d0]

trajectoire : t = x / vi ; report dans y : y = -½gx² / v²i + v0 x / vi + d0.

y = -5x² +2x + 0,05.

la bille passe au dessus de la barre si y >0,2 :

-5x² +2x+0,05 >0,2 ; x² - 0,4 x +0,03 < 0

D = 0,04 ; x1 = 0,1 ; x2 = 0,3 et 0,1< D < 0,3 m.

portée : y = 0,05 ; -5x² +2x = 0 donne x1=0 et x2 = 0,4 m.

durée : x = vi t donne t = 0,4 / 1 = 0,4 s.

distance parcourue par la voiture : 0,4 m ; la bille retombe sur la voiture.


de quel couple s'agit-il ?
 

On se propose d'identifier le couple acide/base noté HA/A- parmi les couples ci-dessous
couple HA/A-
Ka à 25 °C
Masse molaire de HA
HCOOH / HCOO-
3,75
46
HN3 / N3-
4,72
43
H3C-COOH / H3C- COO-
4,75
60
H5C2-COOH / H5C2- COO-
4,87
74
HClO / HClO-
7,3
52,5
A. Détermination du pKa d'un couple acide/base : Afin de déterminer le pKa d'un couple acide/base, noté HA/A-, on mesure le pH de solutions contenant les deux espèces conjuguées de ce couple. On utilisera :
- Une solution S1, contenant l'espèce A-, de concentration molaire C1 = 0,10 mol/L

- Une solution S2, contenant l'espèce HA, de concentration molaire C2 = 0,mol/L
- Avec un pH-mètre, on mesure le pH de plusieurs mélanges réalisés dans des béchers. Les résultats sont regroupés dans le tableau ci-dessous où V1 représente le volume de solution S1, et V2 le volume de solution S2 :
mélange
1
2
3
4
5
6
7
8
V1 mL
4
10
20
30
40
40
40
40
V2 mL
40
40
40
40
30
20
10
4
pH
3,85
4,22
4,55
4,7
4,95
5,1
5,42
5,82

  1. Tracer la courbe pH = f (log (V1 / V2)
  2. On admet que log (V1 / V2) = log([A-]éq /[AH]éq). Déduire de la courbe la relation qui existe entre pH et log([A-]éq /[AH]éq).
  3. Ecrire l'équation de la réaction entre l'acide HA et l'eau. En déduire la constante d'acidité Ka du couple HA/A-, puis la relation liant le pH de la solution et le pKa du couple HA/A-.
  4. Déduire des questions précédentes une valeur approchée du pKa du couple. 

B. Identification du couples acide/base HA/A-:

  1. Quels sont les couples acide/base du tableau que l'on peut éliminer à l'issue de l'étude de la question A ?
  2. On a dû peser 1,85 g d'acide HA pour réaliser 250 mL de solution S2 de concentration C2 = O, 1 mol/L
    - Déterminer la masse molaire du composé HA.
    - Identifier le couple HA/A-

corrigé
mélange
1
2
3
4
5
6
7
8
pH
3,8
4,2
4,5
4,7
4,9
5,1
5,4
5,8
V1/V2
0,1
0,25
0,5
0,75
1,33
1,5
4
10
log(V1/V2)
-1
-0,6
-0,3
-0,13
0,13
0,18
0,6
1

le coefficient directeur de la droite est voisin de +1 (fonction est croissante)

ordonnée à l'origine : 4,8

fonction affine : pH = log(V1/V2) + 4,8 = log ( [A-] / [AH]) + 4,8

AH + H2O = A- + H3O+

Ka=[A-][H3O+]/[AH ]

log Ka = log( [A-] / [AH]) + log [H3O+]

- log [H3O+] = log( [A-] / [AH]) - log Ka

pH = log( [A-] / [AH]) + pKa donc pKa proche de 4,8.


parmi les couples donnés on élimine ceux dont le pka est trop différent de 4,8 soit :

HCOOH / HCOO- et HClO / ClO-

Quantité de matière (mol) d'acide = volume (L) * concentration (mol/L)

n = 0,25*0,1 = 0,025 mol

Quantité de matière (mol) d'acide = masse (g) / masse molaire (g/mol)

masse molaire (g/mol) = 1,87 / 0,025 = 74,8 g/mol environ 74 g/mol

donc on retient le couple H5C2-COOH / H5C2-COO-

acide propanoïque / ion propanoate


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