Aurélie 05/02
le manège : rotation des nacelles

kiné Limoges 2002


suite-->plan incliné raccordé sur une partie circulaire

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Un manège est constitué d'un axe vertical en rotation. Plusieurs nacelles sont suspendues par des tiges de longueur l =5 m qui sont articulées au sommet A de l'axe. On négligera la masse de ces tiges. Pour des raison de sécurité, un fil également de masse négligeable et de longueur l relie chacune des nacelles à la base B de l'axe de rotation. AB= 8 m.

Un enfant monte dans la nacelle. On considère l'ensemble de la nacelle et de l'enfant comme un point matériel M de masse m= 40 kg. La tige et le fil lorsqu'il est tendu, font avec l'axe de rotation un angle a.

Pour faciliter les calculs on prendra : g = 10 m/s² ; p² = 10 et racine carrée de 2,5 = 1,6.

  1. Par des considérations géométriques calculer sin a et cos a.
  2. L'axe tourne à vitesse angulaire w constante et le fil MB est tendu.
    - Porter sur le schéma la direction et le sens des diverses forces s'exerçant sur M ; faire de même pour le vecteur accélération.
    - En utilisant les axes Ox et Oy déterminer en fonction de m, g, l, a et w les intensités T1 et T2 des forces exercées par la tige et par le fil sur la nacelle.
    - Faire l'application numérique lorsque l'axe de rotation fait ½ tour par seconde.
    - Déterminer la vitesse angulaire minimum à partir de laquelle le fil commence à se tendre.
 


corrigé
cos
a = AP / L = 4 / 5 = 0,8

sin² a = 1- cos²a = 0,36 et sin a = 0,6.

avec PM = L sin a.

Le mouvement étant uniforme, l'accélération est centripète , de valeur w² L sin a.

projection de la somme vectorielle des forces sur l'axe Oy :

T1cos a - T2cos a - mg = 0 (1)

de même sur l'axe Ox : -T1sin a - T2sin a = -mw² L sin a

T1 + T2 = mw² L (2).

(1) donne : T1= T2 + mg / cos a

repport dans (2) : 2T2+ mg / cos a = mw² L .

T2 = ½ m[ w² L -g / cos a ]

T1 = m[ w² L -½(w² L -g / cos a)]

T1 = ½m[ w² L +g / cos a]

application numérique : T1 = 1236 N et T2 = 736 N.


Quand le fil commence à se tendre, sa tension T2 est voisine de zéro :

w² L = g / (cosa )

soit w² = g / (Lcos a )

application numérique : w = 1,6 rad/s ou 0,25 tour / s.

 


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