Aurélie 02/03
satellite -chute-oscillations électriques EPF 02

durée : 2h ; les exercices 1 et 2 sont obligatoires puis choisir 2 autres exercices


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Satellites terrestres :

On suppose que la terre a une répartition de masse à symétrie sphérique de centre O. La base de lancement de Kourou est située à 5° de latitude nord.

  1. Que pensez-vous des affirmations ou interrogations suivantes ? Justifier rapidement votre choix.
    a / Pour étudier le mouvement d'un satellite autour de la terre, on peut négliger l'influence du soleil et des autres planètes du système solaire.
    b / Un élève de terminale peut faire l'étude du mouvement de ce satellite dans un référentiel terrestre.
    c / Un satellite géostationnaire n'est soumis à aucune force.
    d / Le choix de Kourou est dûau fait que le champ de pesnteur y est plus faible.
    e / parmi les orbites ci-dessous, la ou lesquelles sont possibles pour un satellite géostationnaire ?
  2. Calculer la vitesse angulaire d'un satellite géostationnaire. Le résultat sera donné avec trois chiffres significatifs.
    masse de la terre : MT=5,98 1024 kg ; rayon terrestre : RT= 6370 km ; constante de gravitation G= 6,67 10-11 m3 kg-1 s-2 ; période de rotation de la terre sur elle même : T=23h56min ; période de rotation de la terre autour du soleil : T' =365,25 jours.

 

corrigé
vrai
Le champ de gravitation terrestre à une altitude de 36000 km est bien supérieur au champ de gravitation crée par le soleil en ce point ; ce champ varie en raison inverse du carré de la distance.
faux
l'étude est très commode dans le référentiel géocentrique
faux
le satellite géostationnaire est soumis à la force de gravitation terrestre
faux
Kourou est proche du plan équatorial
orbite 2
un satellite géostationnaire se trouve dans le plan équatorial
Le satellite géostationnaire a la même vitesse de rotation que la terre.

T= 23*3600+56*60 = 86160 s

fréquence : f = 1/86160 = 1,161 10-5 Hz

w=2 p f =6,28*1,161 10-5 =7,288 10-5 rad/s.


chute libre avec vitesse initiale :

On abandonne sans vitesse initiale au point A un corps assimilable à un point matériel de masse m. Il glisse sans frottement sur la courbe AOC et arrive en C avec une vitesse VC. La partie OC est une piste circulaire de rayon R. Au delà du point C la masse quitte la piste et retombe au point M sur le plan horizontal. Les frottements sont négligés et g= 9,8 S.I.

  1. Etablir l'équation horaire du mouvement sur le plan incliné s=f(t). Exprimer la valeur V0 de la vitesse au point O en fonction de a, g, L=AO. Expliquer pourquoi le module de la vitesse est le même en C qu'en O.
  2. Etablir en fonction de a, V0, g l'équation de la trajectoire du mobile entre les points C et M dans le repère précisé sur la figure. Donner l'expression de la portée CM en fonction de a, V0, g puis de L et a. Calculer CM si L=1,6 m et a = p/4.

 

corrigé
Sur le plan incliné, le solide est soumis à son poids et à l'action normale du support. La seconde loi de Newton s'écrit, sur un axe parallèle au plan dirigé vers le bas : mg sin
a = ma soit a = gsina.

la vitesse est une primitive de l'accélération : v(t) = gsina t

la position est une primitive de la vitesse : s(t) = ½gsina.


théorème de l'énergie cinétique entre A et O : seul le poids travaille, l'action du support étant perpendiculaire à la vitesse.

½mvO² -0 = mgLsina.

vO² = 2gLsina.

C est à la même altitude que le point O: le travail du poids ( force constante) ne dépend que de l'altitude de départ et de l'altitude d'arrivée. Donc la vitesse en C a même valeur que la vitesse en O.


portée : yM=0

( -½g x / v²C cos a )+sina) x/cosa=0

x= 0 correspond au point C

xM= 2sina cosaC / g = sin (2a) v²C / g .

or v²C =2gLsina.

xM= 2 L sina sin (2a).

O =2*9,8*1,6*sin45 = 22,17 soit vO =4,7 m/s.

xM= 2 *1,6 sin45 *sin90 = 2,26 m.

chute avec frottements :

 On se propose d'étudier la chute, sans vitesse initiale, d'une petite bille d'acier de rayon R et da masse volumique r dans un liquide visqueux de masse volumique r 1, la glycérine. On admet que la bille, dont le centre est animé d'un mouvement de vitesse v est soumise à :

- son poids P= mg ;

- la poussée d'Archimède A= r 1 Vg dirigée de bas en haut, V reprèsentant le volume de la sphère de rayon R.

- la résistance au mouvement F= 6pRhv (h étant la viscosité du fluide).

La bille est lâchée sans vitesse initiale dans le fluide.

  1. Etablir l'expression liant v(t) à sa dérivée par rapport au temps. Montrer que cette équation peut se mettre sous la forme dv/dt + v/t = C
  2. Préciser les expressions et unités de C et t.
  3. L'expérience est réalisée et le graphe v(t) est donné ci-dessous. En déduire la vitesse limite de la bille. Déduire des questions 1 et 2 la viscosité de la glycérine.
    R= 1,5 10-3 m ; g= 10 m/s² ; r = 7800 kg m-3 ; r 1 = 1260 kg m-3 ; V= 4/3 p R3.

 

corrigé
poids vertical vers le bas : mg

poussée d'Archimède, verticale vers le haut : r1Vg

frottement, verticale vers le haut : 6pRh v

la seconde loi de Newton s'écrit, sur un axe vertical orienté vers le bas :

mg - r1Vg -6pRh v = ma = m dv/dt

division par m : g - r1Vg /m = 6pRh / m v + dv/dt

Or V/m = 1/ r ; m = 4/3p R3r ; p R/m = 3/ (4R²r)

g (1- r1/ r ) = 4,5h /(R²r) v + dv/dt

C= g (1- r1/ r ) s'exprime en m/s²

1/t = 4,5h /(R²r) ; t = R²r / (4,5h ) s'exprime en s.


vitesse limite vL= 0,032 m/s.

lorsque la vitesse limite est atteinte, le mouvement est rectiligne uniforme: dvL/dt=0

l'équation différentielle s'écrit : C= vL/ t soit t = vL/ C

C= 9,8(1-1260/7800) =8,2 m/s² ;

t = 0,032 / 8,2 = 3,9 10-3 s.

h = R²r/ (4,5t) = (1,5 10-3)² *7800 / (4,5*3,9 10-3) = 1 kg m-1 s-1.


QCM mécanique : pas de justification pour les questions 1 et 2 ; justifier pour la question 3.

  1.  A la surface de la lune, le champ de gravitation est environ 6 fois plus faible que lcelui existant à la surface de la terre. Lors des missions Apollo, un astronaute de masse 90 kg sur terre avait à la surface de la Lune une masse de :
    a/ 1,5 kg
    b/ 540 kg
    c/90 kg
  2. Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme :
    a/ Le vecteur vitesse est constant.
    b/ La valeur du vecteur vitesse est constante;
    c/ La valeur du vecteur accélération est nulle.
    d/ Le vecteur accélération est nul ;
    e/ La valeur du vecteur accélération est constante;
    f/ Le vecteur accélération est constant.
  3. a/ Si une particule, initialement immobile, est soumise à une force constante, sa trajectoire est alors une droite.
    b/ Si une particule est soumise à une date t>0 à une force constante, sa trajectoire dépend des conditions initiales.
    c/ Un satellite ayant une orbite circulaire autour de la terre est soumis à une force constante..
corrigé
1c : vrai
la masse est constante (90 kg) c'est le poids qui varie suivant le lieu.
2b : vrai
mouvement uniforme signifie : la valeur du vecteur vitesse est constante
2e : vrai
accélération centripète ( dirigée vers le centre du cercle)

valeur aN=v²/R si v=Cte alors aN=Cte.

3a : vrai
le vecteur accélération et le vecteur vitesse sont colinéaires : donc trajectoire rectiligne
3b : vrai
si la vitesse initiale et la force constante sont colinéaires : mouvement rectiligne

si la vitesse initiale et la force constante ont des directions différentes : trajectoire = arc de parabole

3c : faux
le satellite est soumis à la force de gravitation centripète, de valeur constante mais de direction variable (radiale : dirigée suivant un rayon du cercle)


oscillations électriques amorties :

On considère le circuit ci-dessous. l'interrupteur 1 est fermé, l'interrupteur 2 est ouvert. On ouvre l'interrupteur 1 et on ferme l'interrupteur 2. On constate sur l'écran d'un oscilloscope que u(t) est une sinusoïde amortie.

 

  1. Interprèter ce fait.
  2. Le logiciel d'acquisition mesure les valeurs des amplitudes Un des oscillations pour chaque période et nous propose, afin de déterminer la loi d'évolution de cette amplitude en fonction du nombre de périodes, les calculs suivants : lnUn ; 1/Un ; Un ². Ce logiciel fourni également la représentation graphique de lnUn ; 1/Un ; Un ² en fonction du nombre n de périodes écoulées, ainsi que l'équation de la meilleur droite passant par ces points . Le coefficient R² est d'autant plus proche de 1 que la droite ajuste au mieux l'ensemble des points
    - Parmi les différentes possibilités, quelle représentation paraît la mieux adaptée.
    - En déduire l'expression de Un en fonction de n.
    - Au bout de combien de pseudo-périodes l'amplitude des oscillations est-elle divisée par 100.

n
Un
lnUn
1/Un
Un ²
0
5
1,61
0,2
25
1
4,5
1,5
0,22
20,25
2
4
1,39
0,25
16
3
3,5
1,25
0,29
12,25
4
3,2
1,16
0,31
10,24
5
2,85
1,05
0,35
8,12
6
2,55
0,94
0,39
6,5
7
2,25
0,81
0,44
5,06

 

corrigé


amortissement : perte d'énergie ( sous forme d'effet joule dans la résistance du circuit) lors des échanges d'énergie entre condensateur et bobine.

La représentation graphique la plus adaptée correspond à R² le plus proche de1.

ln Un= -0,1135n+1,61

si n=0 : ln U0 = 1,61 soit U0 = 5V

ln Un = -0,1135 n+1,61 = ln 0,05 = -2,996

0,1135 n = 2,996+1,61 = 4,606

n = 4,606 / 0,1135 proche de 41.


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