Aurélie 01/02
analyse des rayonnements ioniques

kiné nantes 2001


exercice suivant : étude d'une bouilloire

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Des ions émis par une chambre d'ionisation et accélérés pénètrent dans une zone où règne un champ électrique et un champ magnétique parallèles. On négligera la force de pesanteur. Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie1 :

  1. La vitesse des ions ( charge q>0, masse m ) à la sortie de la chambre d'ionisation est comprise ente 0 et V1. Déterminer entre quelles vitesses V0 mini et V0maxi est comprise la vitesse des ions à la sortie de la cathode cylindrique. Exprimer ces vitesses en fonction de q, V1, m, U1. Quel est l'intérêt de la forme de la cathode ?
  2. La vitesse des électrons (qe= -e, masse me) à la sortie de la chambre d'ionisation est comprise entre 0 et V2. Déterminer la valeur minimale, U1 mini de U1 qui interdit aux électrons d'atteindre la cathode et de pénétrer dans la zone où règnent les champs. U1 mini sera exprimée en fonction de e, V2 et me.

Partie 2 :

  1. Les ions (q>0, m) pénètrent dans la zone où règnent les champs avec une vitesse V0 comprise entre V0 mini et V0 maxi. Déterminer les équations horaires du mouvement x(t), y(t) et z(t). Déterminer la position des ions lorsqu'ils arrivent sur l'écran. On exprimera la déflexion électrique en fonction de q, m E,L et V0. En déduire que les ions vont décrire sur l'écran un segment de droite à définir.
  2. Seul le champ magnétique B existe. Démontrer que le mouvement s'effectue dans le plan (O, i ,k).
  3. Démontrer que ce mouvement est circulaire et uniforme de rayon R==mV0/(qB)
  4. Sachant que R >> L effectuer le tracé de la trajectoire des ions dans le plan (O, i, k). On exprimera la déflexion magnétique en fonction de R et de la déviation angulaire b que l'on fera figurer sur un schéma.
  5. Sachant que la déviation est faible, on utilisera les approximations sin b voisin b et cos b voisin de 1- ½b² . Exprimer la déflexion magnétique en fonction de q, m, B, L et V0. En déduire que les ions vont décrire sur l'écran un segment de droite à définir.
  6. On superpose le champ électrique au champ magnétique :
    -Montrer que sur l'écran on visualise une portion de parabole dont on déterminera l'équation ; on établira l'équation Y = f(X) de la parabole en utilisant les grandeurs q, m, E, B et L.
    -Tracer qualitativement cette portion de parabole dans le plan (O, i, j)
    - Le faisceau d'ion est constitué d'ions H+ de masse mH =m0 et D+ de masse mD =2m0 , tracer les courbes observées sur l'écran.
     

corrigé
théorème de l'énergie cinétique entre la sortie de la chambre d'ionisation et l'entrée de la cathode :

seule la force électrique travaille : W = q U1.

DEc= ½mV²0 - ½m V²1.

½mV²0 - ½m V²1= q U1.

0 = V²1+ 2q/m U1.

0 mini = 2q/m U1et V²0 maxi = V²1+ 2q/m U1.


Les électrons d'énergie initiale ½mV²2 ne peuvent pas atteindre la cathode si leur vitesse s'annule avant l'entrée de la cathode

seule la force électrique travaille : W = -e U1 mini.

DEc= 0 - ½m V²2.

- ½m V²2= -e U1 mini.

U1 mini = m V²2/(2e).


seul le champ électrique existe :

la vitesse est une primitive de l'accélération :

vitesse à la date t : ( 0 ; q/m E t ; v0)

le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse :

x = 0 ; y = ½q/m E t² ; z = v0 t.

position des ions arrivant sur l'écran : xS = 0 ; zS = L = v0 t d'où t = L / v0.

yS = ½q/m E L² / v²0.

les ions décrivent un segment de droite verticale compris entre :

yS mini = ½q/m E L² / v²0 maxi et yS maxi = ½q/m E L² / v²0 mini.


seul le champ magnétique existe :

le mouvement s'effectue dans le plan défini par la vitesse et la force magnétique.

Cette force est centripète ; dans la base de Frenet (suivant l'axe n) la 2ème loi de newton s'écrit :

qv0B = mv²0 / R soit R = mv0 / (qB) = Cte

la trajectoire est un arc de cercle.

La force magnétique, perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas ; en conséquence elle ne modifie ni l'énergie cinétique ni la norme du vecteur vitesse. Le mouvement est donc uniforme.

QH =Rcos b et xQ=R - QH = R(1- cos b )= mv0 / (qB) (1- cos b )

si l'angle est petit :

cos b voisin 1-½b² soit xQvoisin ½Rb².

de plus on peut assimiler l'arc de cercle à la longueur L soit Rb voisin L

xQvoisin ½R L² /R² = ½L² /R = qB L² /(2mv0 )

on observe un segment dont les extrémités sont :

qB L² /(2mv0 maxi ) et qB L² /(2mv0 mini )


les 2 champs existent :

xQ= qB L² /(2mv0 ) (1)

yQ = ½q/m E L² / v²0.(2)

zQ =L.

(1) donne v0 = L²qB/ (2mxQ)

repport dans (2) : yQ = 2E m / (LqB)² x²Q. branche de parabole.

si la masse double, la charge restant inchangée :

xQ (D+) = ½xQ (H+) et yQ (D+) = ½yQ (H+), la masse intervenant au dénominateur.

 


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