Aurélie 29/11/06
Evolution énergétique d'un circuit RLC série d'après bac S 11/06 ( Nlle Calédonie) sans calculatrice

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Ce circuit est constitué des éléments suivants : - un générateur délivrant une tension continue constante de valeur E = 4,0 V ; - une résistance R réglable ;- un condensateur de capacité C = 2,0 µF ;- une bobine d'inductance L et de résistance r. Un commutateur (K) permet de relier le dipôle (RC) soit au générateur, soit à la bobine.

L'entrée Y1 d'une interface, reliée à un ordinateur, est connectée à la borne A ; l'autre entrée Y2 est connectée à la borne D. La masse de l'interface est connectée à la borne B. Les entrées Y1 , Y2 et la masse de l'interface sont équivalentes respectivement aux entrées Y1 , Y2 et à la masse d'un oscilloscope.

  1. Étude énergétique du condensateur :
    Au cours de cette question, on étudie la charge du condensateur. À l'instant de date t = 0 s, le condensateur est déchargé et on bascule le commutateur en position.
    -Représenter, sur la figure, par des flèches : - la tension uDB(t) aux bornes de la résistance ;- la tension uAB(t) aux bornes du condensateur.
    - Charge du condensateur : Donner, en le justifiant, le signe de la charge q portée par l'armature A du condensateur au cours de sa charge et la relation existant entre la charge q et la tension UAB.
    En tenant compte de l'orientation du circuit, donner la relation vérifiée à chaque instant par l'intensité i(t) du courant et la charge q(t).
    A partir des expressions des tensions aux bornes des trois dipôles, établir l'équation différentielle vérifiée par uAB(t).
    Vérifier que l'expression suivante de uAB(t) est solution de cette équation différentielle : uAB(t) = E(1-exp(-t/(RC))
    - Énergie électrique Ee emmagasinée par le condensateur : donner en fonction de uAB(t) l'expression littérale de l'énergie électrique Ee emmagasinée par le condensateur. En déduire l'expression littérale Ee,max de sa valeur maximale et calculer sa valeur.
  2. Étude énergétique du circuit RLC :
    Une fois le condensateur chargé, l'élève bascule rapidement le commutateur (K) de la position 1 à la position 2 : il prend l'instant du basculement comme nouvelle origine des dates. Le condensateur se décharge alors dans la bobine. L'acquisition informatisée des tensions permet de visualiser l'évolution des tensions uAB(t) et uDB(t) en fonction du temps. Après transfert des données vers un tableur-grapheur, l'élève souhaite étudier l'évolution des différentes énergies au cours du temps.
    - Exprimer littéralement, en fonction de i(t), l'énergie magnétique Em emmagasinée dans la bobine.
    - À partir de l'une des tensions enregistrées uAB(t) et uDB(t), donner l'expression de l'intensité instantanée i(t). En déduire l'expression de l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine en fonction de l'une des tensions enregistrées.
    - En déduire l'expression de l'énergie totale ET du circuit en fonction des tensions uAB(t) et uDB(t).
    -À partir du tableur-grapheur, l'élève obtient le graphe ci-dessous (figure 2) qui montre l'évolution, en fonction du temps, des trois énergies : Ee énergie électrique, Em, énergie magnétique et ET énergie totale.

    Identifier chaque courbe en justifiant. Quel phénomène explique la décroissance de la courbe 1 ?

  3. Entretien des oscillations :
    Pour entretenir les oscillations, on ajoute en série dans le circuit précédent un dispositif assurant cette fonction. On refait alors une acquisition informatisée.
    - Tracer sur la figure ci-dessous, les deux courbes manquantes. Préciser ce que chacune des trois courbes représente.
    - Pourquoi un tel régime est-il qualifié d'entretenu ?





corrigé
Étude énergétique du condensateur :

Au cours de cette question, on étudie la charge du condensateur. À l'instant de date t = 0 s, le condensateur est déchargé et on bascule le commutateur en position.

Charge du condensateur : signe de la charge q portée par l'armature A du condensateur au cours de sa charge

L'armature B du condensateur est reliée à la borne négative du générateur ; l'armature B acquièrt une charge négative; la charge de l'armature A est donc positive.

relation existant entre la charge q et la tension UAB :

la charge du condensateur et la tension à ses bornes sont proportionnelles : q=CUAB
En tenant compte de l'orientation du circuit, la relation vérifiée à chaque instant par l'intensité i(t) du courant et la charge q(t) est : i(t) = dq/dt = q'

équation différentielle vérifiée par uAB(t) :

tensions aux bornes de la résistance R : uBD(t) = Ri = Rdq/dt = RCdUAB/dt

additivité des tensions : E= UAB + uBD ; E = UAB +RCdUAB/dt
Vérifions que l'expression suivante de uAB(t) est solution de cette équation différentielle : uAB(t) = E(1-exp(-t/(RC)))

dériver uAB(t) par rapport au temps : duAB/dt =E/(RC) exp(-t/(RC))

repport dans l'équation différentielle : E= E(1-exp(-t/(RC))) + Eexp(-t/(RC))

cette relation est bien vérifiée que que soit t ; donc uAB(t) = E(1-exp(-t/(RC))) est solution de l'équation différentielle.
Énergie électrique Ee emmagasinée par le condensateur :

Ee = ½Cu2AB(t)

expression littérale Ee,max de sa valeur maximale :

la valeur maximale de uAB(t) est E d'où : Ee,max = ½CE2 = 0,5*2 10-6*4² = 1,6 10-5 J.


Étude énergétique du circuit RLC :

Expression littérale, en fonction de i(t), de l'énergie magnétique Em emmagasinée dans la bobine :

Em = ½Li2(t)
Expression de l'intensité instantanée i(t) :

uBD(t) = Ri ; i(t) = uBD(t) / R ;

Expression de l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine en fonction de l'une des tensions enregistrées :

Em = ½Li2(t) = ½L/R2 u2BD(t)
Expression de l'énergie totale ET du circuit en fonction des tensions uAB(t) et uDB(t) :

ET = Em + Ee = ½L/R2 u2BD(t) + ½Cu2AB(t)

courbe 3 : Ee ( à t=0, le condensateur stocke l'énergie totale du circuit)

courbe 2 : Em ( à t=0, la bobine ne stocke pas d'énergie )

courbe 1 : ET.

L'amplitude de la courbe 1 décroît au cours du temps : au cours des échanges d'énergie entre bobine et condensateur, une partie ce celle-ci est perdue par effet joule dans les parties résistives du circuit.


Entretien des oscillations :
Pour entretenir les oscillations, on ajoute en série dans le circuit précédent un dispositif assurant cette fonction. On refait alors une acquisition informatisée.

courbe 1 : Em ( à t=0, la bobine ne stocke pas d'énergie )

courbe 2 : Ee ( à t=0, le condensateur stocke l'énergie totale du circuit)

courbe 3 : ET = constante

Le système est entretenu : à chaque instant le dispositif électronique compense l'énergie perdue par effet joule.



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