Aurélie 10/09/07
 

système d'allumage classique dans un moteur à essence bac S 09/ 2007 France

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L'inflammation du mélange air-essence dans le moteur d'une voiture est provoquée par une étincelle qui jaillit entre les bornes d'une bougie d'allumage. Cette étincelle apparaît lorsque la valeur absolue de la tension aux bornes de la bougie est supérieure à 10 000 volts.

On peut modéliser le circuit électrique par le schéma :

Avec :

E = 12 V, tension aux bornes de la batterie, considérée comme un générateur idéal de tension.

La bobine du circuit primaire est modélisée par une inductance pure L en série avec une résistance r = 6,0 W.

Le rupteur est un interrupteur commandé par le mouvement mécanique du moteur.

Le rôle du transformateur est d'obtenir une tension de sortie u2 aux bornes de la bougie très élevée. Les propriétés du transformateur sont telles que les grandeurs u2 et i1 sont liées par la relation : u2 = a di1/dt , où i1 est l'intensité du courant dans le circuit primaire et a une constante indépendante du temps, positive. Aucune autre connaissance concernant le fonctionnement du transformateur n'est nécessaire pour résoudre l'exercice.

L'objectif de l'exercice est de montrer que des étincelles se produisent aux bornes de la bougie lorsque le rupteur est ouvert.

Étude du circuit primaire sans condensateur :

Rupteur fermé : le circuit primaire peut être alors modélisé selon le schéma

- Montrer que l'équation différentielle vérifiée par l'intensité i1 s'écrit : di1/dt + r/L i1 = E/L

-Que devient cette équation différentielle en régime permanent ?

- En déduire la valeur de l'intensité I1 du courant dans le circuit primaire en régime permanent.

- Peut-il y avoir une étincelle aux bornes de la bougie en régime permanent ? Justifier.


Réponse :

additivité des tensions : E= uL+ur.

uL= Ldi1/dt et ur = ri1 d'où : E= Ldi1/dt +ri1 soit di1/dt + r/L i1 = E/L.

En régime permanent l'intensité est constant, donc di1/dt = 0 : E=rI1 soit I1 = E/r

I1 =12/6,0 = 2,0 A.

u2 = a di1/dt ; or, en régime permanent di1/dt = 0 ce qui entraîne u2=0.

Si la tension de sortie u2 aux bornes de la bougie est très élevée, une étincelle se produit aux bornes de la bougie.

Rupteur fermé, en régime permanent, u2=0, donc pas d'étincelle.




Rupteur ouvert :

Lorsque le rupteur s'ouvre (à une date choisie pour origine des dates), il se produit une étincelle à ses bornes. L'air devient alors conducteur et le rupteur se comporte comme un conducteur ohmique de résistance de plusieurs mégaohms. Le circuit primaire peut alors être modélisé selon le schéma :

Quelle est l'effet de la bobine sur la rupture du courant ?

On donne l'expression temporelle de l'intensité pour t>= 0 :

Les trois courbes ci-dessous, représentent des allures possibles de l'évolution de l'intensité i1 du courant en fonction du temps.

En justifiant, choisir la seule compatible avec l'expression de i1(t).

On donne ci-dessous l'allure de l'évolution de la valeur absolue de la tension u2(t) définie dans l'introduction.

A partir de cette courbe, déterminer la valeur de la constante de temps t .

A partir de quelle date peut-on considérer qu'il n'y a plus d'étincelle aux bornes de la bougie ?


Réponse :

Effet de la bobine sur la rupture du courant :

La bobine s'oppose à la disparition du courant dans le circuit : elle introduit un retard à l'annulation du courant.

Allure de l'évolution de l'intensité i1 du courant en fonction du temps :

i1 est de la forme i1=A + B exp (-at) avec A, B et a des constantes positives.

B exp (-at) est une exponentielle décroissante qui tend vers zéro au bout d'un temps suffisamment long : i1 tend alors vers une valeur constante non nulle.

d'où le choix de la figure 6 a.

valeur de la constante de temps t :

"Cette étincelle apparaît lorsque la valeur absolue de la tension aux bornes de la bougie est supérieure à 10 000 volts".

A partir de t = 0,8 ms, il n'y a plus d'étincelle aux bornes de la bougie.

 


 


Étude du circuit primaire avec condensateur et rupteur ouvert :

  1. Pour que l'étincelle n'endommage pas le rupteur au moment de son ouverture, un condensateur est branché en dérivation aux bornes du rupteur. Lorsque le rupteur s'ouvre, le circuit primaire peut alors être modélisé selon le schéma :

L'équation différentielle vérifiée par la charge q du condensateur est : d2q/dt2 + r/L dq/dt + q/(LC) = E/L (1)
  1. Cas où r = 0 :
On considère le cas d'une bobine idéale. L'équation différentielle correspondante est alors d2q/dt2 + q/(LC) = E/L (2). On propose l'expression temporelle de la charge : q(t) =Q0 cos ( 2pt/g) +CE .

On prendra comme origine des dates, l'instant t = 0 s pour lequel q(t = 0 s) = Q0 + CE avec Q0 > 0.

Donner l'expression littérale de l'intensité i1 =dq/dt .

Donner l'expression littérale de d2q/dt2 .

En remplaçant dans l'équation (2) d2q/dt2 et q , montrer que la fonction proposée est une solution de l'équation différentielle (2) si et seulement si

g = 2p (LC)½ .

Que représente g pour ce circuit ?

  1. Montrer que u2(t) = -A cos ( 2pt/g) où A est une constante positive.

    Tracer l'allure de la variation de la tension u2(t) en fonction du temps et qualifier le régime observé.


Réponse :

Expression littérale de l'intensité i1 =dq/dt :

q(t) =Q0 cos ( 2pt/g) +CE ; dq/dt = -Q0 2p/g sin ( 2pt/g).

Donner l'expression littérale de d2q/dt2 :

d2q/dt2 = -Q0 [2p/g]2 cos ( 2pt/g).

Montrons que la fonction proposée est une solution de l'équation différentielle (2) si et seulement si g = 2p (LC)½ :

d2q/dt2 + q/(LC) = E/L

-Q0 [2p/g]2 cos ( 2pt/g) + 1/(LC) Q0 cos ( 2pt/g) + E/L= E/L

[ 1/(LC) -[2p/g]2 ]Q0 cos ( 2pt/g)+E/L = E/L

Cette égalité est vérifiée quel que soit le temps si : 1/(LC) -[2p/g]2 =0

soit LC = [g/(2p)]2 ou g = 2p (LC)½

g représente la période pour ce circuit LC.

  1. Montrons que u2(t) = -A cos ( 2pt/g) où A est une constante positive :
u2 = a di1/dt ; i1 = dq/dt ; di1/dt = d2q/dt2 = -Q0 [2p/g]2 cos ( 2pt/g).

u2 = -aQ0 [2p/g]2 cos ( 2pt/g).

En posant A = Q0 [2p/g]2 il vient u2(t) = -A cos ( 2pt/g)

Allure de la variation de la tension u2(t) en fonction du temps :

Le régime observé est périodique sinusoïdal.


Cas où r différent de 0 :

L'allure de la variation temporelle de la tension u2(t) réellement observée est représentée ci-dessous :

Qualifier le régime observé et expliquer pourquoi l'amplitude de la tension u2(t) décroît au cours du temps.

Expliquer, grâce à la courbe précédente, pourquoi en présence du condensateur il y a un " train d'étincelles " aux bornes de la bougie plutôt qu'une étincelle unique.

  1.  

Réponse :

Le régime observé est pseudopériodique.

Lors des échanges d'énergie entre condensateur et bobine, une partie de l'énergie est perdue sous forme de chaleur ( effet joule) dans la résistance r ( amortissement). L'amplitude de la tension u2 diminue au cours du temps.

"Cette étincelle apparaît lorsque la valeur absolue de la tension aux bornes de la bougie est supérieure à 10 000 volts".

En présence du condensateur il y a un " train d'étincelles " aux bornes de la bougie :

 
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