Aurélie 03/02
de l'oscillateur électrique à l'oscillateur mécanique

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oscillations électriques :

On étudie les oscillations électriques d'un dipôle constitué d'un conducteur ohmique de résistance R, d'une bobine inductive d'inductance L= 9 mH, de résistance r=2 W et d'un condensateur de capacité C=20 mF. On enregistre la tension u aux bornes du condensateur à l'aide d'un ordinateur.

 

On appelle q la charge de l'armature A du condensateur et i l'intensité du courant arrivant sur l'armature A. Le condensateur étant chargé, on ferme l'interrupteur K et l'enregistrement débute.

On effectue trois enregistrements de u pour les valeurs de Rf = R+r égales à 2 W, 12W, 70W.

  1. Attribuer à chaque courbe la valeur de la résistance totale du dipôle. Justifier.
  2. On souhaite modéliser la courbe de variation de u au cours du temps. On se place dans le cas où la résistance totale est nulle, toutes les autres variables étant inchangées.

    - Etablir l'équation différentielle vérifiée par la charge q au cours du temps.
    dans la suite de l'exercice on considère que la solution de l'équation différentielle précédente est du type :
    q = q0 cos (wt) avec w ² = 1/(LC)

  3. On souhaite comparée la période théorique et la période expérimentale. La période théorique est T = 2p racine carrée (LC).
    - Calculer la période théorique des oscillations.
    - Déterminer à partir de l'enregistrement correspondant au règime le moins amorti, la valeur de la pseudo-période.
    - Comparer ces valeurs.

du modèle électrique au modèle mécanique :

On considère un pendule horizontal constitué d'un ressort à spires non jointives, de constante de raideur k et de masse négligeable, d'un mobile autoporteur de masse m. Les frottements sont négligés. On repére l'abscisse du centre d'inertie G du système sur un axe O, x. On note v la vitesse du mobile. A l'équilibre x=0.

A l'instant initial t=0 ; x=x0 positif ; v = v0 = 0.

Le but de cette partie est d'établir l'expression de x en fonction du temps, dans le cas des oscillations libres du pendule. On suppose que cette expression a une forme similaire à celle de la charge q = q0 cos (wt).

  1. Ecrire les expressions des énergies cinétiques et potentielle élastique de cet oscillateur mécanique. Préciser quelle énergie est nulle à l'instant initial.
  2. Ecrire l'expression de l'énergie magnétique, stockée dans la bobine et de l'énergie électrique, stockée dans le condensateur, de l'oscillateur électrique précédent. Préciser quelle énergie est nulle à l'instant initial.
  3. En déduire les analogies entre les grandeurs caractéristiques du dipôle LC (inductance, capacité, charge) et celle du pendule élastique( abscisse, masse, constante de raideur du ressort).
  4. En déduire l'expression de l'abscisse x du centre d'inertie du pendule abandoné sans vitesse initiale à l'abscisse x0.

validité du modèle :

On dispose d'un pendule élastique horizontal de masse m = 200 g et de raideur k = 14 N/m, associé à un dispositif d'enregistrement de la variation de l'abscisse x en fonction du temps. Afin de vérifier l'exactitude du modèle mathématique on effectue le tracé théorique et l'enregistrement d'un tracé expérimental.

  1. Indiquer un facteur expérimental dont on n'a pas tenu compte et qui pourrait expliquer les différences entre les courbes.

 




corrigé
L'amortissement ( diminution de l'amplitude à chaque période) est d'autant plus grand que la résistance du circuit est grande.

à la courbe 1 correspond la plus petite valeur de la résistance ( 2 ohms).

à la courbe 3 correspond la plus grande valeur de la résistance ( 70 ohms)


équation différentielle :

tension aux bornes du condensateur : uC = uAB =q / C

tension aux bornes de la bobine inductive : uL = uBA = L di/dt + ri

le facteur ri est nul dans ce cas ( résistance totale du circuit =0)

de plus i = dq/dt = q' soit i' = q"

uAB +uBA = 0

soit : q/C + Lq" = 0 où q" + 1/ (LC)q = 0.


période :

L = 9 10-3 H ; C= 2 10-5 F; LC = 18 10-8.

période T = 2*3,14 racine carrée (18 10-8) = 2,66 10-3 s = 2,66 ms.

la pseudo-période est lue sur le graphe 1 : T' = 2,5 ms.

ces valeurs sont comparables, la pseudo-période est légerement inférieure.

écart entre les deux valeurs : 0,16*100 / 2,5 = 6,4%)


modèle mécanique :

oscillateur mécanique
oscillateur électrique
énergie cinétique

nulle à t = 0

½mv²
énergie magnétique

nulle à t = 0

½Li²
énergie potentielle élastique

maximale à t=0

½ k x²
énergie électrique

maximale à t=0

½q² / C
à la masse m (kg) correspond l'inductance L (H)
à la vitesse v (m/s) correspond l'intensité i(A)
à l'abscisse x (m) correspond la charge q (coulomb)
à la raideur k (N/m) correspond l'inverse de la capacité 1/ C ( F-1)
abscisse x en fonction du temps : x = x0 cos (wt)

avec w ² = k/m.


dans le modèle mathématique on a oublié de tenir compte des frottements mécaniques, cause de l'amortissement des oscillations.



à suivre ...


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