Aurélie 12/01/09
 

 

conductivité dans un métal et dans un semi-conducteur : concours général 2008

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Conductivité dans un métal ( modèle de Drude).

Les vecteurs sont écrits en gras et en rouge.

On établit à l'instant t=0, une différence de potentiel constante VA-VB >0 entre les deux extrémités d'un barreau cylindrique en cuivre de longueur L, de section S et d'axe x'x.

Le barreau est le siège d'un courant d'intensité I qui résulte du déplacement des électrons libres présents dans le métal. Ces électrons sont mis en mouvement sous l'effet d'une force électrique Fel, dirigée en sens contraire du courant I et qui s'écrit Fel = -eE. ( E champ électrique permanent et uniforme qui règne à l'intérieur du barreau).

La norme du champ électrique vaut E = (VA-VB ) / L.

Ces électrons libres évoluent dans un réseau de charges quasiment immobiles et ne sont donc pas complètement libres. Pour rendre compte du rôle essentiel du milieu, Drude a proposé d'introduire une force de frottement visqueux, opposée à la vitesse de l'électron v, de la forme F = -kv avec k une constante positive caractéristique du milieu.

En appliquant la seconde loi de Newton à l'électron, déterminer l'équation différentielle vérifiée par chacune des coordonnées de la vitesse d'un électron.

Fel + F = m dv /dt ; sur l'axe x'x : -eE-k v = mdv/dt.

dvx/dt + k/m vx = -e/m E.

solution générale de l'équation sans second membre : vx = B exp(-k/m t)

solution particulière ( régime permanent ) : vx =-e/k E

solution générale de l'équation avec second membre : vx = B exp(-k/m t)-e/k E.

à t=0, la vitesse est nulle : 0 = B-e/k E. vx = -e/k E [ 1-exp(-k/m t)].


dvy/dt + k/m vy =0

vy =Cste exp(-k/m t).

dvz/dt + k/m vz =0

vz =Cste exp(-k/m t).

 

En déduire que la vitesse d'un électron libre peut s'écrire v = - µ E après un certain temps caractéristique que l'on exprimera en fonction de m et k.

En régime permanent , les deux forces se compensent et la valeur de la vitesse est constante.

Fel + F =0 ; -eE - k v =0 ; vx = -e/kE ; vy =0 ; vz =0.

La mobilité caractéristique de l'électron A vaut : µ = e/k.

Le vecteur densité de courant j est défini par j = rm v avec rm la densité volumique de charges mobiles et v la vitesse de l'électron libre. La densité volumique de charges mobiles peut s'écrire rm = - n e où n représente le nombre d'électrons libres par unité de volume.

Exprimer la conductivité g du métal définie par la loi d'Ohm locale j = gE en fonction de n, e et de la mobilité µ.

On note j la norme du vecteur densité de courant.

d'une part : j = rm v = -n e v ; d'autre part v = - µ E ; par suite j = n e µ E ;

On identifie g = n e µ .

L'intensité I du courant représente la quantité d'électricité qui traverse la section S par unité de temps.

Elle s'exprime de façon simple dans notre cas particulier par la relation I = j S où S désigne la section du barreau.

En déduire la résistance RAB du barreau du cuivre en fonction de g, S et L ?

d'une part j = g E ; d'autre part E = (VA-VB)/L et enfin I = j S :

I = g (VA-VB) S/L ; RAB =(VA-VB)/ I = L/ (gS).

Quelle est l'unité de g ?

g = L/(RAB S) ; [g] =m /( W m2) = W-1 m-1.

Remarque : la résistivité r est l'inverse de la conductivité g.

 





Conductivité dans un semi-conducteur.

Dans un semi-conducteur d'arséniure de gallium dopé N, le phénomène de conduction est dû à la présence de n=ND =1,5 1021 électrons par m3 apportés par les atomes de silicium. Ces électrons possèdent une mobilité µ- =9200 cm2V-1 s-1.

Calculer numériquement la conductivité g du semi-conducteur d'arséniure de gallium dopé N.

µ- =9200 cm2V-1 s-1 = 9200 10-4 m2V-1 s-1 =0,92 m2V-1 s-1.

g = n e µ =1,5 1021 *1,6 10-19 *0,92 =221 W-1 m-1.

Pour réaliser de l'arséniure de gallium dopé P, on a incorporé à de l'arséniure de gallium pur, du zinc à raison de NA =3 1023 atomes de zinc par m3 d'arséniure de gallium.





Dans un semi-conducteur d'arséniure de gallium dopé P, le phénomène de conduction est dû à la présence de p = NA porteurs de charge positive par m3 apportés par le zinc.

Ces porteurs de charge +e possèdent une mobilité µ+ =400 cm2V-1 s-1.

La vitesse d'un porteur de charge positive s'écrit v+E avec µ+>0. Le vecteur densité de courant est toujours défini par la relation j = rm v avec rm la densité volumique de charges mobiles.

Exprimer la conductivité g du semi conducteur d'arséniure de gallium dopé P en fonction de p, e et µ+.

d'une part : j = rm v = p e v ; d'autre part v = µ+ E ; par suite j = p e µ+ E ;

On identifie g = p e µ+ .

µ+ =400 cm2V-1 s-1 = 400 10-4 m2V-1 s-1 =0,04 m2V-1 s-1.

g = p e µ+ =3 1023 *1,6 10-19 *0,04 =1,92 103 W-1 m-1.

Montrer que les porteurs de charge positive contribuent au passage du courant dans le même sens que les porteurs de charge négative.

j+ = p e µ+ E : j+ colinéaire à E et de même sens que E.

j- = n e µ- E : j- colinéaire à E et de même sens que E.

j+ et j- ont le même sens : ils contribuent au passage du courant dans le même sens.

Les semi-conducteurs sont des matériaux présentant une conductivité électrique intermédiaire entre les métaux et les isolants.

Les semi-conducteurs sont primordiaux en électronique car ils offrent la possibilité de contrôler, par divers moyens, à la fois la quantité de courant électrique susceptible de les traverser et la direction que peut prendre ce courant.






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