Aurélie 06/04/09
 

 

Chute verticale d'une balle de bois dans l'eau concours kiné Assas 2009.

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On lâche une balle de bois au dessus d'une surface d'eau. La balle est assimilée à son centre d'inertie G. A l'instant t=0 elle pénètre dans l'eau avec une vitesse v0 = 10 m/s. g = 10 m/s2 ; V : volume de la balle ; r : masse volumique de la balle ; r0 = 2r : masse volumique de l'eau.

Mouvement dans l'eau : frottement négligé.

Poussée d'archimède P et poids de la balle.

poids de la balle : P= mg avec m = rV ; P =r g V ; poussée d'Archimède : P = r0 g V = 2r g V.

La valeur de la poussée d'Archimède est égale à 2 fois la valeur du poids de la balle.

Accélération, vitesse et position de G.

Ecrire la seconde loi de Newton :

La vitesse est une primitive de l'accélération : v = -gt + v0.

La position est une primitive de la vitesse : z = -½gt2 +v0t.

Profondeur maximale atteinte.

La vitesse s'annule, puis la balle remonte. A cet instant t1 = v0 / g = 10 /10 = 1 s.

Repport dans l'expression de z : zmax= -0,5*10 +10 = 5 m.


Mouvement dans l'eau : frottement non négligé.

A l'instant t=0 la balle pénètre dans l'eau avec une vitesse v0 = 10 m/s.

La force de frottement est colinéaire à la vitesse et de sens contraire. Sa valeur est f = av avec a = 0,05 SI ;

Masse de la balle m = 100 g.

Equation différentielle vérifiée par la vitesse :

La solution de cette équation est du type : v(t) = A + B exp(-t/t) avec t = m/a. ( A et B sont des constantes).

Expression des constantes :

v' = -B/t exp(-t/t) =-Ba/m exp(-t/t) ; repport dans l'équation différentielle :

-Ba/m exp(-t/t) + a/mA + a/mBexp(-t/t) = -g ; a/mA =-g d'où A = -gm/a ; A = -gt.

Au bout d'un temps très grand, la vitesse limite est atteinte : vlim = A = -gt

A l'instant t=0, la vitesse vaut v0 ; v(t=0) = v0 = A + B ; B = v0 +gt = v0 +vlim.





Cette vitesse s'annule t-elle ? Si oui à quelle date t2.

L'accélération étant dirigée en sens contraire de l'axe, le mouvement est freiné : la vitesse va donc finir par s'annuler.

v(t) = -gt + (v0 +gt) exp(-t/t) ; v(t2) = 0 = -gt + (v0+gt) exp(-t2/t).

gt / (v0+gt) = exp(-t2/t) ; ln [gt / (v0 +gt)] = -t2/t ; t2 = t ln [v0 /(gt)+1].

t = m / a = 0,1/*0,05 = 2 s ; v0/(gt )=10 / (10*2) = 0,5 ; t2 = 2 ln 1,5 = 0,81 s.

La vitesse limite ne sera pas atteinte lors de la descente.

Courbe v= f(t).




 


La profondeur z(t) à laquelle se trouve la bille a pour expression :

z(t) = K1 t + K2 exp(-t/t) +K3 où K1, K2, K3 sont des constantes.

Par identification, et en utilisant la condition initiale, trouver les expressions littérales de ces constantes.

z(0) = 0 d'où : 0 = K2 +K3 (1).

La position est une primitive de la vitesse : v(t) = -gt + (v0 +gt) exp(-t/t) ;

z(t) = -gt t - t (v0 +gt) exp(-t/t) + K3

On identifie K1 à -gt ; K1 = -10*2 = -20 m/s.

K2 à - t (v0 +gt) ; K2 = -2( 10+20) = -60 m ; et K3 à t (v0 +gt) = 60 m

z(t) = -20 t -60 exp(-t/t) +60

Profondeur maximale atteinte :

zmax =-20 *0,81 -60 exp(-0,405) +60 = 3,8 m.





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