Aurélie 08/02/09
 

 

étude dynamique des anneaux de Saturne, atmosphère de Titan physique concours Mines 08

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La planète Saturne est assimilée à un corps à répartition sphérique de masses, de centre OS, de masse mS= 6 1026 kg, de rayon RS. On suppose que le référentiel saturnien, de point fixe OS et en translation circulaire par rapport au référentiel héliocentrique, est galiléen. On note G la constante de gravitation.

Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.

Les anneaux de Saturne ne sont pas des solides.

Supposons qu’un anneau soit un agglomérat solide de corps (rochers, cailloux, blocs de glace), en rotation uniforme à la vitesse angulaire w autour de Saturne. On isole deux de ces corps formant un doublet d =({M1, M2}, de faible taille à l’échelle astronomique, de centre d’inertie G, de même masse , à la distance 2a l’un de l’autre ; on suppose, en outre, que :

• OS, M1, M2 restent alignés en permanence ;

• on pose ur = OSG/OSG, OSG= r ur ; q=w t , et on dfinit le repère cylindrique (ur, uq ,uz )

• il vient OSM1= (r-a) ur et OSM2= (r+a) ur ; a<<r

• le référentiel RSd =(OS, ur, uq ,uz ) est appelé référentiel saturno-doublet : c’est un référentiel non galiléen en rotation uniforme par rapport au référentiel saturnien, à la vitesse angulaire w et dans lequel OS, G, M1, M2 sont immobiles.

On néglige l’influence de tous les autres corps de l’anneau sur le système d.

En écrivant le théorème de la résultante cinétique sur le doublet d, établir l’identité GmS/r2 =w2 r.

G est immobile dans le réfrentiel RSd ; G est soumis à la force de gravitation de Saturne et à une force d'inertie centripète : ces deux forces sont opposées.

GmS 2m / r2 (-ur )+ 2m w2 r ur =0.

Faire l’inventaire de toutes les forces subies par M1 dans RSd et montrer que leur somme vectorielle peut s’écrire S f = f(a,r)ur : on donnera l'expression de f(a,r), comme une fonction des variables a et r et des paramètres G, m et mS .


- Force de gravitation exercée par Saturne : GmSm/(r-a)2(-ur )

- Force de gravitation exercée par M2 : G m2 / 4a2 ur.

- Force d'inertie centrifuge : m w2 (r -a)ur.

S f =[ m w2 (r -a) +G m2 / 4a2 -GmSm/(r-a)2] ur.

f(a,r) = m w2 (r -a) +G m2 / 4a2 -GmSm/(r-a)2].

On admet pour la suite que par un développement limité au premier ordre en a/r<<1, cette fonction a pour valeur approchée :

f(a,r) =G m2 / 4a2 -3GmSma/r3.

Il y aura dislocation progressive de l’anneau si la résultante des forces a tendance à éloigner M2 de M1, donc si f(a,r) <0.

Montrer que cette condition se traduit par l’existence d’une valeur minimale r0 de r (on l’appelle limite de Roche) ne dépendant que de mS, et de µ=m/a3.

On donne µ=720 kg m-3.

G m2 / 4a2 -3GmSma/r03= 0 ; m/4a2 = 3mSa/r03 ; r03 = 12mSa3/ m ; r0=(12mS/µ)1/3.

Déduire de ce qui précède un ordre de grandeur de r0. Conclure en considérant que les anneaux ont un rayon de l’ordre de 108 m.

r0=(12*6 1026/720)1/3 = ( 1026/10)1/3 =( 10*1024)1/3 =101/3 108 ~2,2 108 m.

Cette valeur est supérieure au rayon des anneaux : les anneaux résulte de la dislocation d'un solide.





Dans ce qui suit, on assimile tous les corps autour de Saturne à des petits et moyens blocs solides indépendants en orbite circulaire et on néglige toutes les forces d’interaction entre eux devant l’attraction gravitationnelle de la planète.

Divisions des anneaux.

Les anneaux sont divisés : la première division fut observée par Cassini qui détecta le premier une bande circulaire vide de blocs, et découpant ainsi « l’anneau » en deux anneaux distincts (cette division est encore appelée division Cassini). On en a détecté un très grand nombre depuis.

On s’intéresse ici à la division observée sur le rayon orbital d’un petit satellite sphérique, Pan, de centre OP, de rayon rP, et de rayon orbital rP=OSOP.

 

Le référentiel saturno-Pan RSP est en rotation uniforme autour du référentiel saturnien, suiveur du mouvement de Pan, dans lequel OS et OP restent fixes. On considère deux petits rochers A et B encore présents dans cette bande et tournant dans le même sens. A est en orbite circulaire de rayon rA légèrement inférieur à rP, B est en orbite circulaire de rayon rB légèrement supérieur à rP.

Montrer que plus le rayon de l’orbite circulaire d’un corps satellisé autour de Saturne est grand, plus sa vitesse le long de son orbite est faible.

Ecrire la 3è loi de Kepler : T2/r3 = 4p2/(GmS) avec 2p r = v T ; T2/r2 = 4p2/v2.

4p2/(v2r) =4p2/(GmS) ; v2 = GmS/r ; v = (GmS/r)½.

Tracer dans le référentiel saturnien, l’allure des vecteurs vitesses des centres des trois corps (l’échelle est arbitraire).

En déduire, dans le référentiel RSP, l’allure des vecteurs vitesses de A et de B et les tracer sur la figure.

 

En déduire pourquoi et AB ne pourront rester sur leur orbite, et pourquoi on dit que Pan « nettoie » la bande décrite par sa trajectoire en dessinant une division dans les anneaux.

A et B ne peuvent que s'écraser ou rebondir sur Pan, au regard des directions et sens de leurs vitesse.




L'atmosphère de Titan.

Saturne possède un satellite remarquable, Titan, sur lequel la sonde Huygens, véhiculée par la capsule spatiale Cassini, s’est posée avec succès le 14 janvier 2005. Les capteurs embarqués ont permis d’enregistrer les variations de la pression et de la température en fonction de l’altitude.

La figure suivante donne sur l’axe de gauche la pression de l’atmosphère en pascals, en échelle logarithmique, sur l’axe de droite l’altitude correspondante en km, en échelle non régulière, et sur l’axe horizontal la température en Kelvin en échelle linéaire. La courbe tracée permet donc de suivre l’évolution de la température en fonction de l’altitude ou de la pression.


On admettra que dans l'atmosphère, l'accélération de la pesanteur de Titan garde une valeur constante gT=1,6 m s-2. R = 8,3 J mol-1 K-1 la constante des gaz parfaits. On note µ(z) la masse volumique du gaz et P(z) sa pression à l'altitude z.

On assimile la mésosphère et la thermosphère à un gaz parfait en évolution isotherme de masse molaire M.

En écrivant l’équation d’état des gaz parfaits et la loi de la statique des fluides, établir l’équation différentielle vérifiée par P(z).

loi des gaz parfaits : P(z) V = nRT avec m = n M et µ = m/V d'où P(z) = µRT /M.

loi de la statique des fluides : dP(z) = -µ(z) gT dz

dP(z) = - P(z)M gT / (RT) dz ; dP(z) / (P(z) = -MgT/(RT) dz.

Résoudre cette équation sans chercher à déterminer la constante d’intégration et en déduire si le modèle adopté est conforme avec les données de la figure.

ln P(z) = -M gT z / (RT) + cste.

ln P(z0) = -M gT z0 / (RT) + cste ; cste = ln P(z0) +M gT z0 / (RT)

ln P(z)- ln P(z0) = -M gT (z- z0) / (RT).

Dans la mésosphère et la thermosphère, la température varie peu et à une chelle logarithmique de la pression correspond une échelle linéaire de la température. Le modèle est donc conforme.

Dans la troposphère, on admet que le principal constituant est le diazote N2, de masse molaire M = 28 gmol-1, assimilé à un gaz parfait de rapport des capacités calorifiques g = 1,4, et que les évolutions sont adiabatiques et reversibles. On note P0 et µ0 les valeurs de la pression et de la masse volumique au niveau du sol.

Etablir l'expression de la pression P en fonction de P0, µ0, g, gT et z.

adiabatique reversible : P1-g Tg= cste ; P(1-g)/g T= P0(1-g)/g T0.

dP(z) = - P(z)M gT / (RT) dz s'écrit : dP(z) = - P . P(1-g)/g M gT / (RP0(1-g)/g T0) dz

dP(z) = -P1/g M gT / (RP0(1-g)/g T0) dz avec P00RT0/M ; M/(RT0) =µ0 /P0.

dP(z) = -P1/g µ0 gT / P01/gdz ; P-1/g dP(z) =-µ0 gT / P01/gdz

Intégration entre 0 et z : g/(g-1)P(g -1)/g = -µ0 gT / P01/gz + cste.

à l'altitude z=0 : g/(g-1)P0(g -1)/g = cste d'où : g/(g-1)P(g -1)/g -g/(g-1)P0(g -1)/g = 0 gT / P01/g z.

P(g -1)/g-P0(g -1)/g = -(g-1)/g µ0 gT P0-1/g z .

Déterminer une valeur approchée de l'altitude à laquelle P s'annule et en déduire si le modèle adopté est conforme avec les données de la figure.

P=0 si : P0(g -1)/g = (g-1)/g µ0 gT P0-1/g z ; P0 =(g-1)/g µ0 gT z ; z = P0g / ((g-1)µ0 gT )

Or P0 = µ0RT0/M d'où z = gRT0 / ((g-1)MgT ).

Le graphe donne T0 = 90 K :

z = 1,4*8,3 *90 / (0,4*28 10-3*1,6) = 58 000 m = 58 km.

La pression ne s'annule pas à cette altitude d'après le graphe : modèle non conforme.






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