Aurélie 19/1/09
 

 

Energie potentielle : modélisation d’un oscillateur physique concours Mines 08

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Soit un point matériel de masse m, en mouvement dans le champ de pesanteur g uniforme.

Les caractères gras, écrits en rouge, désignent des grandeurs vectorielles.

Étude énergétique d’un oscillateur.

Définir l’énergie potentielle associée à une force F.

L'énergie potentielle d'un système physique est associée à une force dite conservative : une force conservative dérive d'une énergie potentielle : F= - dEp/dr.

L'énergie potentielle est définie à une constante près ; la variation d'énergie potentielle est l'opposé du travail W d'une force conservative.

Pour une force de rappel élastique de constante K, déterminer l’expression de l’énergie potentielle en fonction de l’écart x à la position d’équilibre, à une constante additive près.

La tension T est proportionnelle à l'allongement x du ressort T= K x

K raideur du ressort (N/m)

On considère un mouvement conservatif de m sur l’axe horizontal Oy, autour d’une position d’équilibre Y0, avec l’énergie potentielle Ep(y) = E0 + a ( y-Y0)2, où a est une constante positive.

Établir l’équation différentielle du mouvement et en déduire qu’il s’agit d’oscillations harmoniques dont on précisera l’expression de la période.

Expression de l'énergie mécanique : Em = Ep(y) + Ec(y) = E0 + a ( y-Y0)2 + ½ m(dy/dt)2 = constante.

Dériver par rapport au temps : 2a ( y-Y0) dy/dt + m dy /dt . d2y /dt 2 = 0

Simplifier par dy/dt : 2a ( y-Y0) + m d2y /dt 2 = 0 ; d2y /dt 2 + 2a / m y = 2a / m Y0.

C'est l'équation différentielle d'un oscillateur harmonique de pulsation w= (2a / m)½ et de période T = 2 p / w =2 p ( m/(2a) )½.

Les ressorts sont identiques, de raideur k et de longueur à vide L0, tandis que les points d’attache sont distants de 2L0.


Exprimer Ep(y) si y désigne l’écart à la position d’équilibre, et calculer la période T0 des oscillations de m si m = 200 g et k = 40 N/m.

Les énergies potentielles ½ky2 + Cte de chaque ressort s'ajoutent ; si on choisit la position d'équilibre comme origine de l'énergie potentielle, la constante est nulle.

Ep(y ) = ½ky2 +½ky2 = ky2 .

On retrouve le cas précédent avec Y0 = 0 et a = k : T0 =2 p ( m/(2k) )½ = 6,28 (0,2/80)½ =0,31 s.

On envisage l’existence d’un frottement fluide d’intensité proportionnelle à la vitesse de m par rapport à l’axe du mouvement : F = -ß m v, où ß est une constante.

Donner la dimension ou l’unité SI de ß.

ß = -F / (mv) : force : masse * accélération = masse * longueur / temps2 soit MLT-2.

mv : masse * longueur / temps soit MLT-1 ; par suite [ß] = T-1.

Établir l’équation différentielle du mouvement. Quelle est la valeur numérique maximale de ß permettant les oscillations de m ?

Polynôme caractéristique : r2 +ßr +2k/m = 0 ; discriminant D = ß2 -8k/m.

Le régime est pseudo-périodique si D <0 soit ß < 2 (2k/m)½ ; ß < 2 (80/ 0,2)½ ; ß < 40 s-1.





Modélisation d’un dispositif expérimental.

On dispose d’un banc à coussin d’air rectiligne (Ox), incliné par une cale de hauteur h d’un angle a par rapport à l’horizontale, selon la figure ci-dessous. Sur ce banc, un aimant est fixé à l’origine O, et un autre aimant, de masse m, est fixé sur un palet mobile sans frottement :

Les aimants sont orientés de telle sorte qu’ils se repoussent mutuellement. La possibilité pour m d’osciller autour d’une position d’équilibre résulte de la compétition entre la répulsion électromagnétique, réduite à une force notée F, prépondérante lorsque les aimants sont proches, et le poids, qui devient prépondérant lorsque la distance augmente.

Faire un bilan des forces à l’équilibre sur un schéma.

Sans connaissances préalables en électromagnétisme, on cherche dans la suite à vérifier si la force électromagnétique agissant dans cette expérience peut être modélisée par une loi de la forme : F(x) = k.(x0 / x)n.ex, avec k > 0 et n entier naturel.

Exprimer dans cette hypothèse la position d’équilibre xe en fonction de x0, k, m, g, L, h et n dans le cas des petits angles (h << L).

NB : cette approximation sera toujours utilisée dans la suite.

Projection sur Ox de la somme vectorielle des forces : -mg sin a + F = 0

sin a~ h/L ; mgh/L = k.(x0 / xe)n ; (mgh / (kL)) 1/n = x0 / xe ; xe = x0 . [kL / (mgh)] 1/n.



On mesure xe pour différentes cales, puis on représente ln(h) en fonction de ln(xe / x0). En prenant x0 = 1 m,

déduire des mesures ainsi représentées ci-dessous les valeurs de n et de k.

On donne : L = 120 cm ; m = 189 g ; g = 9,81 m.s–2.

ln(h)
-2,19
-2,39
-2,56
-2,63
-2,73
-2,76
-2,81
ln(xe/x0)
-4,61
-3,91
-3,22
-2,81
-2,53
-2,30
-2,12
mgh/L = k.(x0 / xe)n ; ln h + ln (mg/(kL)) = n ln (x0 / xe) = - n ln(xe / x0)

coefficient directeur de la droite : -n = -(4,61-2,12) / (2,81-2,19) = - 4 ; n = 4.

ln k = ln(mgh/L) +n ln(xe / x0) = ln (0,189*9,8 /1,2) + ln h + 4 ln (xe / x0)

ln k = 0,435 + ln h + 4 ln (xe / x0)

ln(h)
-2,19
-2,39
-2,56
-2,63
-2,73
-2,76
-2,81
ln(xe/x0)
-4,61
-3,91
-3,22
-2,81
-2,53
-2,30
-2,12
ln k
-20,1
-17,6
-15,0
-13,4
-12,4
-11,5
-10,9
k est de l'ordre de
10-6 N m-1.




Exprimer littéralement l’énergie potentielle totale Ep(x) de m, à une constante additive près, en fonction de x, x0, k, m, g, L, h et n, puis en fonction de x, x0, xe, k et n.

Energie potentielle de pesanteur : Epp = mg x sin a + constante = mg x h/L + Constante.

Energie potentielle magnétique : chercher une primitive de F = k.(x0 / x)n soit : 1/(n+1) k.x0n . x-n+1 / (n-1)

Energie potentielle totale : Ep(x)= mg x h/L + k.x0n . x1-n / (n-1) +Constante.

Lorsqu’on se limite à des oscillations de faible amplitude autour de la position d’équilibre, on rappelle qu’on peut utiliser pour l’énergie potentielle un développement de Taylor d’ordre 2 :

En déduire une expression de Ep( x~ xe) sous la forme : ½K(x-xe)2 + Cste ; on exprimera la constante K en fonction de xe, x0, k et n.

K : valeur de la dérivée seconde de l'énergie potentielle pour x = xe.

K = n k x0n. xe-1-n.

Justifier qu’au voisinage de l’équilibre, la résultante des forces subies par m équivaut à une force de rappel élastique dont on précisera la constante de raideur équivalente.

Ep( x~ xe) = ½K(x-xe)2 + Cste

F = -dEp/dx = -K (x-xe).

Toutes choses égales par ailleurs, montrer que la période T des petites oscillations autour de l’équilibre est proportionnelle à une puissance de h que l’on déterminera ; en déduire une méthode de mesure de n que l’on décrira succinctement.

T2=4 p2 m /K ; K = n kx0n. xe-1-n ; m/K = m xen+1 / (n kx0n)

Or xe = x0 . [kL / (mgh)] 1/n d'où : m/K = x0 m [kL / (mgh)](n+1)/n / (n kx0) = Cste . h -(n+1)/n.

Par suite T = Cste . h -(n+1)/(2n) ; ln T = ln cste - (n+1) / (2n) ln h

Mesurer la période pour différentes valeurs de h puis tracer la fonction lnT = f(ln h) : droite de pente - (n+1) / (2n) =-5/8.



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