Aurélie 23/12/08
 

 

Dipôles RLC, RL, RC : physique concours ECE 08

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On considère le circuit de la figure ci-dessous, R est la résistance d’un conducteur ohmique, L est l’inductance d’une bobine dont la résistance est négligeable, C est la capacité d’un condensateur. On étudie la décharge du condensateur dans la bobine et les oscillations qui en résultent.

On désigne par q(t) la charge instantanée du condensateur à la date t. i(t) est l’intensité instantanée dans le circuit et u(t) est la tension instantanée aux bornes du condensateur, à la date t.

A- L’expression de i(t) en fonction de u(t) s’écrit i(t) = du(t)/ft. Faux.

i(t) = dq/dt avec q = C u(t) ; dq/dt= C du(t) / dt d'où i(t) = C du(t)/dt.

B- L’équation différentielle à laquelle satisfait u(t) est Ldi/dt -u(t) = LC d2u/dt2 -u(t) =0. Faux.

Additivité des tensions : u(t) + Ldi/dt + R i = 0.

i(t) = C du(t)/dt ; di/dt = C d2u/dt2

u(t) + LC d2u/dt2 + RC du(t)/dt = 0.

On suppose d’abord que la résistance R est nulle. La tension initiale est u(0) = E.

C- L’expression de u(t) =E cos (2 pi t / T0) est solution de l’équation différentielle dans ce circuit avec T0 = 2 pi (LC)½. Vrai.

u(t) + LC d2u/dt2 =0 (1); u' =-2 pi E/ T0 sin (2 pi t / T0) ; u" = -4 pi2 E/ T02 cos (2 pi t / T0) = -4 pi2/ T02 u(t).

repport dans (1) : u(t) -LC 4 pi2/ T02 u(t) = 0 est vérifiée quel que soit t si LC 4 pi2/ T02 = 1.

D- L’expression de i(t) est Cdu(t)/dt = -CE 2 pi / T0 sin (2 pi t / T0). Vrai.


On étudie la réponse à un échelon de tension d'un circuit comportant une bobine inductive (L,r) et une résistance R=190 ohms.

La f.e.m de l'alimentation stabilisée utilisée est E=9 V . L'interface reliée à l'ordinateur permet d'étudier les variations de uR (t). La constante de temps t du circuit déduite de la courbe est proche de 0,25 ms.


A-La valeur I0 de l'intensité en régime permanent est 0,45 microampère. Faux.

lecture graphe : l'asymptote horizontale a pour équation I0 = 45 mA.

B- La valeur de la résistance interne r de la bobine est r = 10 kiloohms. Faux.

En régime permanent l'intensité I0 est constante. la tension aux bornes de la bobine vaut : rI0.

Additivité des tensions : E = RI0+rI0 ; r = E/I0 -R = 9/0,045 -190 = 200-190 = 10 ohms.

C- La valeur de l’inductance est L=10 H. Faux.

La constante de temps t du circuit vaut : t = L/(R+r) = 0,25 ms = 2,5 10-4 s.

L = t (R+r)=2,5 10-4 *200 = 0,05 H.

On ajoute au circuit une seconde bobine identique à la précédente. Les deux bobines sont placées en série.

D- La constante de temps a changé et est environ le double de t . Vrai.

t = 2L/(R+2r) = 0,1 /(190+20) =0,1 / 210 ~4,8 10-4 s~ 0,48 ms.





Un condensateur de capacité C=100 microfarads est préalablement chargé sous la tension U=1000 V. On installe ce condensateur dans un circuit comportant une résistance R=100 kiloohms et un interrupteur. On ferme l'interrupteur à l'instant t=10 s.

A- A l'instant de la fermeture, la différence de potentiel entre les armatures du condensateur vaut 1000 V, et le courant dans le circuit a une intensité de 10-3 A. Faux.

Continuité de la tension aux bornes du condensateur u (t=10) = 1000 V ; discontinuité de l'intensité : i(t=10) = 1000 / 105 = 10-2 A.

B- A l'instant de la fermeture, la différence de potentiel entre les armatures du condensateur montre une tendance à la diminution, avec une perte de tension initiale de 10 V s-1. Faux.

Coefficient directeur de la tangente à t= 10 s à la courbe uc=f(t) : -U / (RC) =-1000/ 105*10-4) =-100 V/s.

C- A l'instant t=20 s, la différence de potentiel aux bornes du condensateur n'est plus que de 370 V environ. Vrai.

A la date t =t0+ t , la tension aux bornes du condensateur vaut environ : 0,37 U ~ 370 V.

D- A l'instant t=60 s, le condensateur est virtuellement entièrement déchargé, et le courant dans le circuit négligeable. Vrai.

A la date t =t0+ 5t , le condensateur est pratiquement déchargé et l'intensité du courant est voisine de zéro.



On considère le circuit de la figure ci-dessous, R est la résistance d’un conducteur ohmique, L est l’inductance d’une bobine dont la résistance est négligeable, C est la capacité d’un condensateur. On étudie la décharge du condensateur dans la bobine et les oscillations qui en résultent.

On désigne par q(t) la charge instantanée du condensateur à la date t. i(t) est l’intensité instantanée dans le circuit et u(t) est la tension instantanée aux bornes du condensateur, à la date t. On a u(0) = E

A- L’expression de la valeur maximale atteinte par la tension u aux bornes du condensateur en fonction de l’énergie emmagasinée Ec et de la capacité C est Umax=[2EC/C]½. Vrai.

EC =½CU2max .

B- L’équation différentielle à laquelle satisfait u(t) est : u" + R/L u'+u/(LC)=0. Vrai.

Additivité des tensions : u + Ri + Ldi/dt = 0.

i = dq/dt ; q=Cu soit i = Cdu/dt = Cu' ; di/dt = Cd2u/dt2= Cu".

u + RC u' + LC u" = 0 ; diviser chaque terme par LC.

On pose l = R/(2L).

C- L’équation différentielle à laquelle satisfait u(t) peut s’écrire alors : u" + 2l u' +4 pi2/T02 u =0. Vrai.

T0 = 2 pi (LC)½ ; u" + 2l u'+ 4 pi2/T02 u = 0.

Une équation différentielle peut avoir trois types de solutions possibles suivant les racines de l’équation

r2 + 2l r +4 pi2/T02 =0.

Si le discriminant réduit est nul, on parle de régime critique.

D- La résistance critique Rc en fonction de L et de C est Rc = (L/C)½. Faux.

discriminant : D = 4 l2 -16 pi2/T02 =0 ;

T0 = 2 pi (LC)½ ; 4 pi2/T02 = 1/(LC) ; l = R/(2L).

(Rc/L)2 -4 /(LC) =0 ; Rc2/L= 4 /C ; Rc = 2 (L/C)½.


On utilise le montage représenté sur la figure 01 pour déterminer la capacité C d'un condensateur.

Pour cela on réalise sa charge avec un générateur de courant qui débite un courant d'intensité I = 0,5 mA. On réalise la saisie automatisée de la tension UC aux bornes du condensateur en fonction du temps. A l'instant t = 0 on ferme l'interrupteur K.

A- On a I×t = C×UC. Vrai.

On enregistre la courbe UC (t) représentée sur la figure de droite.

B- On peut en déduire que la capacité du condensateur est C=25.10-3 F. Faux.

Coefficient directeur de la droite : 3,4 / 15~0,23 V s-1.

I×t = C×UC ; UC= I/C t = 5 10-4 /C t ; 5 10-4 /C = 3,4 / 15

C = 5 10-4 *15/3,4 = 2,2 10-3 F.

On veut étudier la charge d'un condensateur au travers d'une résistance à partir du montage schématisé ci-dessous. On utilise un générateur de tension idéal de force électromotrice E avec une saisie automatisée de la tension uc(t). A l'instant initial, le condensateur est déchargé, on bascule alors l'interrupteur en position K2.

La figure de droite représente l’enregistrement de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps.

C- La constante de temps du dipôle est t = 10-6 s. Faux.

D-La force électromotrice s’écrit : E = RC duc/dt +uc. Vrai.

Additivité des tensions : E = uR+uC = R i + uC avec i = dq/dt et q = Cuc soit i = Cduc/dt

E = RCduc/dt + uC.




On considère le montage électrique représenté ci-dessous :

Le circuit comprend un générateur de tension idéal E=10 V, deux interrupteurs K1 et K2, une bobine inductive L=10 mH (de résistance interne nulle), un conducteur ohmique R=1 kiloohm et un condensateur de capacité C=10 nF.

A l'instant t la charge de l’armature A du condensateur est q et la tension à ses bornes est Uc. L’intensité du courant dans le circuit est i. Le condensateur étant déchargé, on laisse l'interrupteur K2 ouvert et on ferme K1.

A- la charge q de l'armature A est négative. Faux.

A est relié à la borne positive du générateur.

On se place à la fin de la charge ; q est alors constante.

B- la valeur de l'intensité du courant à travers le conducteur ohmique est nulle. Vrai.

C- La tension aux bornes du condensateur est Uc= 10 V. Vrai.

D- La charge du condensateur est q0 = 0,1 microcoulomb. Vrai.

q0 = C Uc =10-8 *10 = 10-7 C.

Le condensateur étant chargé, on ouvre l'interrupteur K1 et on ferme K2 à l'instant t0=0 ; pi ~ 3.

A- La tension aux bornes du condensateur obéit à l’équation différentielle suivante :

LCu"c -uc=0 Faux.

additivité des tensions : uc+uL=0 ; uc+Ldi/dt=0 avec i = dq/dt = Cduc/dt et di/dt = Cd2uc/dt2= Cu"c.

uc+Ldi/dt=0 donne : LCu"c +uc=0

B- La solution de cette équation différentielle est : uc(t) = 10 cos(105t + pi). Faux.

LC =10-2*10-8 =10-10 ; (LC)½ = 10-5 ; pulsation w =1/(LC)½) = 1/10-5 ; uc(t=0) = 10 cos(pi) = -10.

or la continuité de la tension impose uc(t=0) = + 10 V ; uc(t) = 10 cos(105t)

C- La période des oscillations qui prennent naissance dans le circuit est d’environ T0 = 6 10-5 s. Vrai.

T0 = 2 pi (LC)½ =2*3 *10-5 = 6 10-5 s.

D- L'énergie électromagnétique E du circuit étudié est 0,5 10-7 J. Faux.

Conservation de l'énergie : ½ CUc2 = ½Li2 = 0,5*10-8 *102 =0,5 10-6 J.



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