Aurélie 23/12/08
 

 

Oscillateur mécanique, : physique concours ECE 08

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Soit un oscillateur mécanique vertical formé d’un ressort de constante de raideur k, de longueur l = 1 m à l'extrémité duquel on a attaché une masse m. Lorsque l'on suspend une masse m=100 g à l'extrémité libre du ressort celui-ci s'allonge de Dz == 2 cm. On prendra g=10 m.s-2 et pi2 = 10.

libre du ressort celui-ci s'allonge de

A- La constante de raideur du ressort a pour valeur k= 5 N.m-1. Faux.

A l'équilibre, la tension du ressort est égal au poids de la masse accrochée au ressort.

kDz = mg ; k = 0,1*10/0,02 =1/0,02 = 50 N m-1.

B- L'expression de la période propre de cet oscillateur est d’environ 1,4 s. Faux.

T = 2 pi (m/k)½ =2 pi (0,1/50)½ = 2 pi (2 10-3)½ ; T2 = 4 pi2 * 2 10-3 =2*4*10-2 ; T = 1,4*2*0,1 = 0,28 s.

L’oscillateur est placé maintenant en position horizontale. Un piston, attaché à son extrémité provoque des ondes de compression et de dilatation. La position du piston évolue de façon sinusoïdale, avec une période T=0,1 s et une amplitude de 1cm. La célérité des ondes le long du ressort est de v= 2 m/s.

C- La spire située au milieu du ressort commence à osciller avec un retard de 0,25 s. Vrai.

Distance de cette spire à la source : 0,5 m ; cette spire reproduit le mouvement de la source avec un retard de 0,5/2 = 0,25 s.

D- La source et la spire du milieu sont en opposition de phase. Vrai.

fréquence f = 1/T = 1/0,1 = 10 Hz ; longueur d'onde l = c/f =2 /10 = 0,2 m

Distance de la source à la spire du centre : 0,5 m soit 2,5 longueurs d'onde. Deux points distants d'un nombe impair de demi longueur d'onde vibrent en opposition de phase.


Un ressort à spires non jointives de masse négligeable et de raideur k a une longueur au repos l0.

Ce ressort est enfilé sur une tige horizontale. L'une de ses extrémités P est fixe et l'autre est attachée à un solide S1 de masse M=150 g pouvant coulisser sans frottement sur l'axe. Au repos le centre d'inertie G de S1 est en O. Un solide S2 de masse m=50 g se déplaçant sans frottement sur l'axe dans le sens xx' avec une vitesse v0 = 2 m/s heurte S1 au repos en O. Après le choc, S2 reste accroché à S1.

Le système oscille alors sans amortissement autour de 0 avec une amplitude xm =10 cm. La vitesse du système (S1+S2) immédiatement après le choc est v= 0,5 m/s . On donne les valeurs de calculs suivantes : 2 pi = 6,28 ; 1/12,56 = 0,08 ; 0,00748½ = 0,087.


A-L'énergie perdue au cours du choc est Ep =0,75 J. Faux.

Energie cinétique avant le choc : ½ mv02 = 0,5*0,05 *4 =0,1 J.

Energie cinétique après le choc : ½ (m+M)v2 = 0,5*0,2 *0,52 =0,025 J.

Energie perdue au cours du choc : 0,1-0,025 = 0,075 J.

B- La raideur k du ressort est k=50 N / m. Faux.

Conservation de l'énergie mécanique : ½kxm2 = ½(M+m)v2max.

k *0,12 = 0,2 *0,52 ; k = 5 N/m.

C- La période d’oscillation de l'oscillateur formé par le ressort, S1et S2 est T= 1,256 s. Vrai.

T = 2 pi ((m+M)/k)½ =2 pi (0,2/5)½ = 2 pi *0,04½ =2 pi *0,2 = 6,28*0,2 = 1,256 s.

En fait S2 ne reste accroché à S1 que pendant la première phase de compression, S2 repart ensuite dans le sens opposé et se sépare de S1 avec une vitesse v2 = 0,5 m.s quand il repasse par la position de repos en 0.

D- l'amplitude du nouvel oscillateur (ressort et S1) est xm =0,087 m. Vrai.

Conservation de l'énergie mécanique : ½kxm2 = ½Mv2max.

5 xm2 =0,15 *0,52 ; xm2 =0,03*0,25 =0,0075 ; xm = 0,087 m





On attache une masse de 200 g à l’extrémité B d'une corde maintenue horizontale sur sa plus grande longueur, puis on produit une déformation sinusoïdale, de fréquence 100 Hz, à l’extrémité A de la corde, grâce à un vibreur.

La célérité des ondes le long de la corde est donnée par la relation : v = (T/m)½.

T est la tension de la corde et m= 20 g m-1, la masse linéique de la corde.

On prendra : g = 10 N.kg-1 et on admettra que la valeur de la tension de la corde est égale au poids de la masse suspendue.

A- La tension peut s’exprimer en kg.m.s-1. Faux.

force = masse * accélération = masse *longueur / temps2 ; [tension] =M L T-2.

B- La célérité de l’onde augmente avec la masse linéique de la corde. Faux.

v = (T/m)½ ; la célérité diminue si la masse linéique augmente.

C- La corde est le siège d’oscillations forcées. Vrai.

Une corde tendue entre deux points fixes et soumise à une excitation sinusoïdale entre en résonance lorsque les fréquences excitatrices sont multiples d'une même fréquence f0, appelé mode fondamental. On peut observer la formation d'ondes stationaires.

D- La valeur de la longueur d’onde est l =10 cm. Vrai.

T = mg = 0,2*10 = 2 N ; m = 20 g m-1 = 0,020 kg m-1 ; v = [2/0,02]½ =10 m/s.

f = 100 Hz ; l =v /f = 10 / 100 = 0,10 m = 10 cm.



On considère le ressort vertical de raideur k et de longueur à vide l0 dont une extrémité est fixée au point A de coordonnés (x = 0 ; y = l0). On accroche une masse m à l'autre extrémité M. A l’instant t=0, on fait osciller la masse de sa position d’équilibre et on la lâche sans vitesse initiale.

A- A l’équilibre on peut écrire kDy = -mg. Faux.

A l'équilibre, le poids (valeur = mg) et la tension du ressort (valeur =kDy) se compensent ; les forces sont opposées et ont même valeur

kDy = mg.

B- Le mouvement de cette masse obéit à y"-k/m y = 0. Faux.

y"+ k/m y = 0.

La masse m accrochée à l’extrémité M de ce ressort a la possibilité d’osciller le long d’un axe xx’ selon la figure ci-dessous :

On pose x =abscisse de M et à l'instant t = 0, on abandonne M en x = l0 avec une vitesse initiale nulle.

C- l'énergie cinétique du point matériel M au moment où il passe au point O en fonction des données est :

Ec(x=0) =½ kl0(2½-1)2. Faux.

O : position d'équilibre.

Initialement la longueur du ressort vaut : 2½l0 ; son allongement est : l0(2½-1)

Energie mécanique initiale : E(x=l0)= ½ k l02(2½-1)2.

Conservation de l'énergie mécanique : E(x=l0) = Ec(x=0).

D- La vitesse du point M à cet instant est : v(x=0)= (k/m)½l0(2½-1) . Vrai.

Ec(x=l0)= ½ k l02(2½-1)2 = ½mv2 ; v2 = k/m l02(2½-1)2 ; v(x=0)= (k/m)½l0(2½-1).






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