Aurélie 23/12/08
 

 

Chute verticale, projectile : physique concours ECE 08

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Un parachute de 80 kg a sur le dos un parachute de masse 20 kg. Il saute hors d’un avion en vol. Au début du saut, la pression atmosphérique est très faible: l'air est raréfié et son action sur le parachutiste peut être négligée. On prendra g = 10 m s-2.

A- Pendant cette première phase, le parachutiste a une vitesse de chute constante. Faux.

Le parachutiste n'est soumis qu'à son poids : mouvement de chute libre sans vitesse initiale : v = gt.

Une fois le parachute ouvert, celui-ci est soumis à la résistance de l’air, assimilable à une force de frottement de module F= k v2 avec k = 20 kg m-1.

B- La vitesse limite vlim atteinte par le parachutiste est v2lim =(M+m)g/k. Vrai.

On néglige la poussée d'Archimède due à l'air. Quand la vitesse limite est atteinte le mouvement est rectiligne uniforme : le poids et la force de frottement se neutralisent.

(M+m)g = k v2lim.

C- Elle est donc d’environ 25 km.h-1. Vrai.

v2lim= (M+m)g / k = 100*10/20 = 50 ; vlim~ 7,1 m/s = 7,1*3,6 km/h ~ 25 km/h.

D- Pour arriver au sol avec la même vitesse lim V , mais en chute libre il suffirait de partir de la hauteur 2,5 m à vitesse initiale nulle. Vrai.

On choisit un axe vertical, orienté vers le bas ; l'origine est choisie à l'altitude initiale.

v = gt ; t = v/g = 7,1/10 = 0,71 s ;

z = ½gt2 = 0,5*10*0,712 ~2,5 m.


On étudie le décollage d’un ballon gonflé à l’Hélium de masse M=2 Kg à faible altitude. Ce qui nous permet de considérer que l’accélération de pesanteur g0, son volume Vb = 10 m3 et la masse volumique rair = 1,2 kg m-3 sont constantes. La force de frottement de l'air sur le ballon est modélisée par la force f = krair v2 où k est une constante pour les altitudes considérées et v la vitesse du centre d'inertie du ballon. On supposera qu'il n'y a pas de vent et que le ballon est étudié dans un référentiel terrestre considéré comme galiléen.


A-Le ballon est soumis à 3 forces :

- FA, la poussée d'Archimède, verticale, orientée vers le haut,

- P son poids,

- f , la force de frottement de l'air sur le système, verticale, orientée vers le bas qui est négligeable au début du mouvement. Vrai.

B- La vitesse initiale du ballon juste après le décollage étant considérée comme nulle, on a :

rair Vb g -Mg > 0 soit M < rair Vb. Vrai.

La poussée d'Archimède est supérieure au poids pour qu'il y ait décollage.

On accroche une nacelle de masse m=200 g pour transporter du matériel météo de masse m’ à ce ballon.

C- La masse maximale m’ de matériel scientifique que l'on peut embarquer dans la nacelle est de 9,8 kg. Vrai.

Valeur de la poussée d'Archimède rair Vb g = 1,2*10 g = 12 g.

Poids total (M+ m+m')g = (2,2+m')g.

La poussée d'Archimède doit être supérieure au poids pour qu'il y ait décollage :

12 > 2,2+m' ; m' < 9,8 kg.

D- L’équation différentielle régissant le mouvement du ballon peut se mettre sous la forme :

dv/dt = Av2 +B avec A = -krair/M et B = [rairVb/M-1]g.

Système : ballon + nacelle et matériel. Faux.

Système : ballon sans nacelle sans matériel : m + m' = 0. Vrai.





Un obus de masse m est propulsé à partir d’un canon avec une vitesse initiale v0 . On note
r la masse volumique de l'air qui dépend de l'altitude z, v la vitesse de l'obus, S la section droite de l'obus. La force F de freinage est du type F=½C S r v2 où C est une constante dépendant de la forme de l'obus, l'atmosphère ayant une épaisseur h de 10 km. On considère que la pression atmosphérique au sol est P0 = 105 Pa et g0= 10 m s-2.

On étudie le système sur les premiers kilomètres où l’on peut considérer le poids de l'obus comme étant négligeable par rapport à la force de freinage.

A- La seconde loi de Newton se réduit à dV/dt= -F/m. Vrai.

B- On a la relation suivante entre la variation de la vitesse et d’altitude dv/v = - CSr /(2m) dz. Vrai.

C- La masse M d'une colonne d'air de section S comprise entre le sol et une altitude infinie s’écrit :. Vrai.

D- La constante C de la force de freinage s’exprime en fonction de la vitesse initiale v0, de la vitesse finale v après traversée de l'atmosphère et des autres données sous la forme : C =2mg0/(P0S) ln( v0/v). Vrai.



Un premier nageur de masse m= 60 Kg plonge dans la mer du haut d’une falaise de hauteur 20 mètres.

Sa vitesse initiale est nulle et on négligera la résistance de l’air. g = 10 m/s2.

On choisit un axe vertical orienté vers le bas ; l'origine est la position initiale du nageur.

A- On peut écrire les composantes de l’accélération sous la forme suivante : ax =0 : az = -g. Faux.

ax=0 ; az = g.

B- Le nageur touche l’eau au bout de 10 s. Faux.

v = gt ; z = ½gt2 = -5t2 ; 5t2 = 20 ; t2 = 4 ; t = 2 s.

C- Quand le nageur pénètre dans l’eau sa vitesse vaut 40 m/s. Faux.

v = 10 *2 = 20 m/s.

On considère un second plongeur plus massif mais de même forme et de même volume qui plonge du même endroit dans les mêmes conditions.

D- Le premier plongeur a une plus petite vitesse limite de chute que le second plongeur. Vrai.

Quand la vitesse limite de chutes est atteinte dans l'eau, le mouvement est rectiligne uniforme.

Le poids Mg compense la poussée d'Archimède et la force de frottement fluide.

Les formes et volumes des nageurs étant identiques, la poussée d'archimède sure les deux nageurs est la même.

La force de frottement fluide est plus importante pour le nageur le plus massif.

La force de frottement a une valeur de la forme k v ou kv2.


Une grenouille effectue une série de sauts successifs sur une surface horizontale avec une vitesse initiale v0 faisant un angle a avec l’horizontal à chaque saut.

A- La trajectoire d’un saut est décrite par :

x(t) = v0 cos a t.

y(t) = v0 sin a t -½gt2. Vrai.

B- La longueur d’un saut est L = v02 sin(2a) / g. Vrai.

y = 0 donne : 0,5 g L = v02cos a sin a.

L = v02 2 cos a sin a / g = v02 sin(2a) / g.

C- A v0 fixée, le saut le plus long est obtenu pour une vitesse initiale faisant un angle a = 90° avec l'horizontale. Faux.

sin(2a) = 1 ; 2a = 90° ; a = 45°.

D- Le temps maximal d’un saut est tmax = (2v0)½/g. Faux.

L= v0 cos a tmax = v02 2 cos a sin a / g.

tmax =2v0sin a / g.




On laisse tomber sans vitesse initiale, d'une hauteur h = 1,80 m, deux corps différents, une bille Bl métallique, de masse m1 = 0,7 kg, et une bille plus légère, B2, de masse m2 = 0,056 kg. On admet l’existence d’une force supplémentaire de frottement visqueux proportionnelle à la vitesse de valeur f = a v ; a = m / t = 14 10-6 S.I.

A- La vitesse v d’une bille satisfait à l’équation différentielle dv/dt - v/t=g selon la verticale descendante Ox. Faux.

La bille est soumise à son poids et à la force de frottement visqueux ; la seconde loi de Newton s'écrit suivant un axe vertical descendant :

mg - a v = m dv/dt ; mg - m v / t = m dv/dt ; g - v / t = dv/dt ; dv/dt + v / t = g.

On considère que v(t) = g t [ 1- exp(-t/t) ] vérifie convenablement l’équation de mouvement de chute de ces billes.

B- L'équation horaire est x(t) =g t [ t + t + t exp(-t/t) ]. Faux.

La position est une primitive de la vitesse : x(t) = g t [ t + t exp(-t/t) ] + constante.

A t = 0, x(0) =0 : 0 = g t [ 0 + t ] + constante ; constante = -gt2.

x(t) = g t [ t - t + t exp(-t/t) ].

C- Une expression approchée de x(t) pour t << t est x(t) = ½ gt2, comme s'il n'y avait pas de frottement. Vrai.

exp(-t/t) ~ 1 ; x(t) ~ g t [ t - t + t ] ~g t t.

Au début de la chute, la vitesse est faible ; la force de frottement étant proportionnelle à la vitesse, celle-ci peut être négligée devant le poids : la chute est libre.

D- Lorsque la force de frottement est faible, la durée de chute est de 0,6 s et est identique pour les deux billes. Vrai.

La chute est libre : 1,8 = 5 t2 ; t2 = 1,8/5= 0,36 ; t = 0,6 s.



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