Aurélie 07/01/09
 

 

les ultrasons : équation de propagation , expression de la célérité dans un gaz

concours physique agrégation 2008.

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Une onde ultrasonore est une onde mécanique progressive longitudinale ( propagation d'une variation de pression) se propageant dans un milieu élastique avec transport d'énergie, sans transport de matière.

Différences entre un transducteur piézoélectrique et un haut parleur :

Une lame de quartz placée entre deux électrodes métalliques constitue transducteur :

effet piézoélectrique : en exerçant contrainte mécanique sur la lame, une tension électrique prend naissance entre les deux électrodes métalliques.

Ce transducteur convertit une variation de pression en variation de tension électrique. Cet effet est mis à profit dans un récepteur à ultrasons.

effet piézoélectrique inverse : on applique une tension électrique entre les deux plaques métalliques ; le champ électrique provoque une modification de la structure cristalline : il en résulte une déformation de la lame de quartz.

Si de plus la fréquence de la tension électrique est proche de la fréquence propre de la lame de quartz, on observe un phénomène de résonance.

L'amplitude importante de la vibration de la lame de quartz conduit à l'émission d'ondes ultrasonores.

Il y a conversion d'énergie électrique en énergie mécanique.


Le haut-parleur électrodynamique.

L'aimant permanent annulaire est fixe : la bobine , mobile, est placée dans l'entrefer de l'aimant ; le dôme de la bobine porte une membrane. La bobine, traversée par un courant, placée dans un champ magnétique, est soumise aux forces de Laplace, dont la résultante est parallèle à l'axe x'x.

Il y a conversion d'énergie électrique en énergie mécanique.

Propagation d'une onde ultrasonore.

Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.

On considère un gaz de masse volumique r0, soumis à une pression uniforme p0 dans lequel se propage dans une direction z une onde plane. Sous l'action de cette onde, le milieu se déforme, la masse volumique devient r (z,t ) = r0 + h (z, t) et la pression devient p(z, t) = p0 + p (z, t).

Pour décrire la déformation du milieu, on isole une tranche d'épaisseur infinitésimale dz et on écrit que cette tranche est déplacée de x(z, t). L'épaisseur de la tranche passe de dz à dz+dx. La vitesse de la tranche est notée v = dx/dt ez, où ez est un vecteur unitaire.

Force dF appliquée par unité de surface sur la tranche :

Force pressante exercée sur la face de gauche : p(z+x), dirigée suivant ez.

Force pressante exercée sur la face de droite : -p(z+x+dx ), dirigée en sens contraire de ez.

dF = p(z+x) -p(z+x+dx )

Expression de dF à partir de la relation fondamentale de la dynamique pour cette tranche de gaz :

La masse de la tranche dm = r0dz reste constante, qu'il y ait compression ou dilatation.





Lors du passage d'une onde sonore, la transformation que subit le milieu est adiabatique
.

En effet, les oscillations de la tranche sont rapides, alors que les échanges thermiques sont lents : ces derniers n'ont pas le temps de s'effectuer.

Equation de propagation de l'onde :

Compressibilité adiabatique c du milieu ( l'indice S signifie " à entropie constante").

La tranche d'aire S( épaisseur initiale dz et volume initial Sdz ), d'épaisseur finale dz+dx, de volume final S(dz + dx) subit une variation de pression dp = p :

On peut négliger dx /dz devant 1 dans la mesure où le volume de la tranche varie peu et dans la mesure où la variation de pression p est petite devant p0.

c est la vitesse de propagation des ondes de pression ( célérité des ondes sonores).





Expression de la célérité des ondes sonores dans un gaz

Compression adiabatique d'un gaz parfait : PV g = Constante.

Equation des gaz parfaits : pV= nRT avec de plus n = m / M avec M : masse molaire

pV = mRT/ M ; masse volumique r0 = m/V = M p / (RT).  

 

Application numérique : pour l'air à 25°C.

R= 8,31 J mol-1 K-1 ; g = 1,4 ; T = 298 K; M= 29 10-3 kg mol-1.

c = [ 1,4*8,31*298 / 29 10-3]½ =346 m s-1.






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