Aurélie 21//02/09
 

 

Les oscillations mécaniques concours caplp interne 2009.

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Extrait d'un sujet de bac professionnel :

La vérifications des performances mécaniques de la suspension d'une voiture dans le cadre du contrôle technique est obligatoire tous les deux ans. Un des éléments fondamentaux de cette suspension est constitué par le ressort. La constante de raideur du ressort ainsi que la période propre de l'oscillateur élastique représenté par le ressort, sont deux critères pris en compte lors de cette vérification.

Un solide de masse m accroché à l'extrémité libre d'un ressort constitue un pendule élastique. On étudie l'quilibre de ce solide. Utiliser le dispositif ci-dessus, accrocher les différentes masses marquées à l'extrémité du ressort, noter les longueurs l1 prises par le ressort. Compléter le tableau ( g = 9,81 N/kg).

masse (kg)
0,1
0,125
0,15
0,175
0,2
F=P (N)






l1-l0 (m)






k = F /(l1-l0) (N/m)






k est le coefficient de raideur du ressort. Calculer en N/m la valeur moyenne de k.

Déterminer la période propre de l'oscillateur ( masse + ressort).

Proposer un protocol expérimental pour déterminer la période propre de l'oscillateur.

Accrocher une masse m = 150 g ( par exemple) au ressort ; écarter la masse de sa position d'équilibre de quelques centimètres vers le bas, puis la lâcher.

Mesurer la durée de 10 oscillations ( 10 périodes). Faire plusieurs mesures et calculer la moyenne.

Etude de l'équilibre.

Effectuer le bilan des forces qui s'exercent sur la masse marquée.

Poids : verticale, vers le bas, valeur mg.

Force de rappel exercée par le ressort, opposée au poids, valeur k(l1-l0)

Le système étant à l'équilibre, énoncer le premier principe de Newton.

Dans un référentiel galilen, un solide pseudo-isolé est :

- soit au repos ( si la vitesse initiale est nulle)

- soit son centre d'inertie est animé d'un mouvement rectiligne uniforme, et réciproquement.

Ecrire la condition d'équilibre : mg = k(l1-l0)


Oscillations non amorties.

On écarte le solide de masse m d'une distance xm au dessous de sa position d'équilibre, puis on le laisse osciller librement, après l'avoir lâché sans vitesse initiale,à l'instant =0.

Enoncer le second principe de Newton.

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse M du solide par l'accélération de son centre d'inertie.

Appliquer ce principe et en déduire, dans le cas général, l'équation du mouvement du centre d'inertie du solide.

On note x(t) l'écart entre sa position à l'instant t et sa position d'équilibre.On prendra

poids : vertical, vers le bas, appliqué au centre d'inertie, valeur : mg

tension du ressort : verticale, dirigée vers la position d'équilibre, appliquée au point de fixation masse ressort, valeur proportionnelle à la déformation du ressort.

L'origine de l'axe est la position d'équilibre stable du système masse ressort :

à l'équilibre : mg = k(Léq-L0)

écarté de sa position d'équilibre le ressort oscille : L= Léq +x

mg-k(L-l0)= m d²x/dt²

mg-k( Léq +x-l0)= m d²x/dt²

mg-k( Léq -l0) - kx =m d²x/dt² ; or mg = k(Léq-L0)

m d²x/dt² + k x=0 (1)

Pulsation w0 ( rad s-1) :
w0 = [k/m]½ d'où l'écriture de (1) : d²x/dt² + w20 x = 0 ou x" +w20 x =0. (1)

La solution de cette équation peut se mettre sous la forme x(t)=A cos(Bt) ou A et B sont des constantes positives non nulles :
Calcul de B pour que x(t)=AcosBt soit solution de l'équation différentielle.
dériver deux fois par rapport au temps :
x' = AB (-sin (Bt) ; x" = -AB2cos(Bt)
repport dans (2) : -AB2cos(Bt) +
w20A cos(Bt) =0 ; B=w0


On éloigne la masse de sa position d'equilibre d'une quantité xm, on a donc à t=0, x(0)=xm ;
à partir de cette condition initiale,on détermine la constante A en fonction des données du problème.
x(t=0)=A cos(0) = d soit
A=xm.
x(t) = xm cos (w0t).

Montrer que la période propre du pendule est : T0 = 2 p [m/k]½.

w0 = [k/m]½ = 2 p /T0 ; d'où : T0 = 2 p [m/k]½

A.N : calculer le coefficient de raideur k, la période propre, la fréquence propre, la pulsation et écrire l'équation du mouvement.

m =118 g ; l0 = 10 cm ; l1 = 12,7 cm ; xm = 1,8 cm ; g=9,81 N/kg.

k = mg/(l1-l0) = 0,118*9,81 /(0,127-0,10) =42,87 ~42,9 N/m.

T0 = 2 p [m/k]½= 6,28 [0,118/42,87]½=0,3296 ~0,33 s ; f0 = 1/T0 =1/0,3296=3,0 Hz ; w0 = [k/m]½ =[42,87/0,118]½ =19,0 rad/s.

x(t) = 1,8 10-2 cos ( 19 t).





Etude énergétique.

Ecrire l'expression de l'énergie mécanique du système masse ressort.

On prend l'origine de l'énergie potentielle à la position d'équilibre x=0.

EM = ½mv2 + ½kx2.

Démontrer que l'énergie mcanique du système masse ressort est constante.

Si x= xm, la vitesse est nulle, l'énergie mécanique est sous forme potentielle élastique EM = ½kxm2.

En l'absence de frottement, l'énergie mécanique se conserve : EM = ½kxm2 =½mv2 + ½kx2 = constante.

Calculer l'énergie mécanique du système.

EM = ½kxm2 =0,5*42,87*0,0182 =6,9 10-3 J.

Etude des oscillations amorties.
La masse marquée baigne dans un liquide. Depuis sa position d'équilibre, on écarte verticalement le solide de masse m d'une distance xm =1,8 cm avant de le laisser osciller librement

Enumérer les forces qui s'exercent sur la masse m.

poids, force de rappel exercée par le ressort, force de frottement fluide exercée par le liquide.

On écrit les vecteurs en gras et en bleu.

On note f = -a v la force de frottement fluide, où a est une constante et v le vecteur vitesse de la masse en translation verticale.

Ecrire sans la résoudre l'équation différentielle qui traduit le second principe de Newton.

écrire cette loi sur un axe vertical dirigé vers le bas ; l'origine de l'axe est la position d'équilibre stable du système masse ressort :

L= Léq +x

mg-k(L-l0)-av= m d²x/dt²

mg-k( Léq +x-l0)-av= m d²x/dt²

mg-k( Léq -l0) - kx -av =m d²x/dt² ; or mg = k(Léq-L0)

m d²x/dt² +av + k x=0 avec v = dx/dt = x'

m d²x/dt² +ax' + k x=0 (3)

(3 ) peut s'écrire : d²x/dt² +
a/ m x' + k/ m x=0
or
w20 = k/m ; on pose 2l= a /m ;
d'où :
d²x/dt² +2l x' + w20 x=0 (4)




A l'aide de ce montage, en suivant le même protocole avec des liquides de viscosité différente, on obtiendrait les graphes suivants :

Pour les courbes 1 et 3 préciser la nature du mouvement observé ainsi que la grandeur que l'on peut déterminer sur la courbe 1 ; en déduire la valeur du coefficient a.

(3) régime apériodique.

(1) régime pseudo-périodique ; pseudo-période 2T = 0,65 s ; T = 0,325 s.

d²x/dt² +2l x' + w20 x=0 ; équation caractéristique r2+2l r + w20 =0 ; discriminant D = 4l2-4w20.

On pose w2 =w20 -l2; w =w0 [1-l2 /w20 ]½ ; T = T0[1-l2 /w20 ] avec l= a /(2m) et T0 = 0,3226 s ( valeur issue du tableau suivant)

(T0/T )2 =1-l2 /w20 ; l2 /w20 = 1-(T0/T )2 =1-(0,3226/0,325)2 =0,0147 ; l = 0,12 w0 =0,12*6,28/0,3226 =2,36

a = 2ml = 2*0,118*2,36 ~0,56.

La courbe 2 correspond à un amortissement critique. Qu'est ce qu'un amortissement critique ? Quel est son intérêt ? Donner une application pratique.

En mécanique ( véhicules) , le régime critique assure un meilleur confort aux passagers en évitant les oscillations ; le retour du système à l'équilibre est le plus rapide. Il en est de même en électricité, on évite des oscillations.


Etude des oscillations entretenues.

Afin d'obtenir des oscilattions d'amplitude constante dans le liquide à faible viscosité, l'extrémité du ressort est reliée à un excentrique entraîné par un moteur.

L'amplitude maximale xm des oscillations varie avec la fréquence de rotation N du moteur. Les résultats sont regroupés dans le tableau suivant :

N(tr/s)
1
1,5
2
2,5
2,8
3,1
3,3
3,5
4
4,5
xm(cm)
0,5
0,7
0,9
1,4
1,7
1,8
1,7
1,5
1,1
0,8
Comment appelle t-on les systèmes "moteur excentrique " et "masse ressort" ?

Moteur excentrique : l'excitateur ; masse ressort : le résonateur.

Tracer la courbe xm=f(N). Déterminer la bande passante et le facteur de qualité.

Bande passante : ensemble des fréquences telle que x > xm/2½.

Facteur de qualité : Q = N0/DN = 3,1 / 1,5 ~ 2.




En utilisant le même protocole expérimental mais avec des liquides de plus en plus visqueux, quelle aurait été l'évolution de l'allure des courbes xm=f(N) ? Comment appelle t-on le phénomène observé ?

La courbe donnant les variations de l'amplitude des oscillations du résonateur en fonction de la fréquence qui lui est imposée par l'excitateur s'appelle courbe de résonance.

Si l'amortissement augmente la fréquence de résonance diminue et la résonance devient plus floue. La résonance disparaît si l'amortissement devient très important.



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