Aurélie 04/06/09
 

 

Le hockey sur gazon ( bac S Amérique du Nord 2009)

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Le hockey sur gazon se pratique sur une pelouse naturelle ou synthétique, de dimensions quasi-identiques à celles d'un terrain de football. Chaque joueur propulse la balle avec une crose ; l'objectif étant de mettre la balle dans le but.

On étudie le mouvement de la balle de centre d'inertie G et de masse m, dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Cette étude est décomposée en deux phases.

Phase 1.

Dans cette phase on néglige toutes les actions liées à l'air ainsi que le poids de la balle.

Au point A la balle est immobile. Entre les points A et B elle reste en contact avec la crosse. La force F exercée sur la balle par la crosse est supposée constante. Le segment AB représentant la trajectoire de la balle est incliné d'un angle a = 30° avec l'horizontale.

On donne : m = 160 g ; g = 9,8 m s-2.

Enoncer la seconde loi de Newton et l'appliquer à la balle lors de son trajet entre A et B.

Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un solide est égale au produit de la masse M du solide par l'accélération de son centre d'inertie.

"Dans cette phase on néglige toutes les actions liées à l'air ainsi que le poids de la balle"


Que peut-on dire du mouvement de la balle entre A et B.

La force et la masse sont constantes : le vecteur accélération est donc constant.

Entre A et B, le mouvement de la balle est uniformément accéléré.


La force F s'exerce pendant une durée
Dt = 0,11 s. La balle part du point A sans vitesse initiale et arrive en B avec une vitesse notée vB = 14 m/s.

Donner l'expression du vecteur accélération en fonction du vecteur vitesse. Calculer la valeur de l'accélération.

Calculer l'intensité de la force exercée sur la balle par la crosse. L'hypothèse concernant le poids de la balle est-elle justifiée ?

F = m a avec m = 0,160 kg et a = 1,27 102 m s-2.

F = 0,160 * 127 = 20,3 ~ 20 N.

Poids P = mg = 0,160*9,8 = 1,6 N, environ 13 fois plus faible que la valeur de la force F. L'hypothèse concernant le poids est justifiée.





Phase 2.

On écrit les vecteurs en gras et en bleu.

Au point B, la balle quitte la crosse à la date t=0 avec le vecteur vitesse vB contenu dans le plan (xOz) : c'est la seconde phase du mouvement dans laquelle on néglige toutes les actions liées à l'air. On étudie le mouvement du centre d'inertie de la balle dans le champ de pesanteur supposé uniforme.

L'axe Ox est horizontal dirigé vers la droite. L'axe Oz est vertical dirigé vers le haut. L'origine des axes est à la verticale du point B telle que OB= h = 0,40 m.

Donner l'expression des coordonnées vBx et vBz du vecteur vitesse de la balle à la date t=0.

vBx= vB cos a et vBz = vB sin a.

Donner l'expression des coordonnées xB et zB du vecteur OB de la balle au point B.

xB= 0 et zB = h.

En appliquant la seconde loi de Newton on obtient les équations horaires suivantes :

a ( ax=0 ; az = -g) ; v ( vx=vB cos a ; vz = -gt +vB sin a) ;

Montrer que la valeur vS de la vitesse de la balle au sommet S de la trajectoire est vS= 12 m/s.

Au sommet de la trajectoire le vecteur vitesse est horizontal : sa composante verticale est donc nulle.

vS = vx=vB cos a = 14 cos 30 = 12,12 ~ 12 m/s.

Montrer que les coordonnées du vecteur position OG du centre d'inertie de la balle sont :

x = vB cos a t ; z = -½gt2 + vB sin a t + h.

Le vecteur position est une primitive du vecteur vitesse :

x = vB cos a t + constante ; or à t=0 x(t=0) est nul : la constante d'intégration est donc nulle.

z = -½gt2 + vB sin a t +constante ; or à t=0, z(t=0) = h : la constante d'intégration est égale à h.

En déduire l'équation de la trajectoire de la balle.




La ligne de but est située à une distance d = 15 m du point O. La hauteur du but est L= 2,14 m. On néglige le diamètre de la balle devant la hauteur du but.

Quelles conditions doivent satisafaire x et z pour que le but soit marqué ? Vérifier que ces contitions sont bien réalisées.

Lorsque x supérieur ou égal à 15 m, la valeur de z doit être inférieure à 2,14 m.

z( 15) = -½*9,8 *152 / ( 12,122) + 15 tan 30 + 0,40 =-7,505 + 8,66 +0,40 = 1,56 ~1,6 m.


Etude énergétique.

Le même tir est réalisé du milieu du terrain à une distance du but supérieure à 15 m.

L'énergie potentielle de pesanteur est choisie nulle à l'altitude z=0.

Donner l'expression littérale de l'énergie potentielle de pesanteur Ep puis celle de l'énergie mécanique EM en fonction de g, m, v et z.

Ep= mgz ; Ec=½mv2 ; EM = Ep+Ec=mgz +½mv2.

Calculer l'énergie mécanique de la balle au point B.

EM =0,16 *9,8 *0,40 + 0,5*0,16*142 =0,627 +15,68 =16,31 ~ 16 J.

Toutes les actions de l'air sont négligées.

Que peut-on dire de la valeur de l'énergie mécanique EM de la balle au cours de son mouvement ?

Seul le poids de la balle travaille ; le poids étant une force conservative, l'énergie mécanique de la balle reste constante au cours de son mouvement.

Exprimer l'altitude maximale zmax que pourrait atteindre la balle au point S dans ces conditions en fonction de EM, vS, m et g. Calculer zmax.

Energie mécanique de la balle en S : EM = mgzmax + ½mvS2.

EM / m - ½vS2 = g zmax ; zmax = 1/g [EM / m - ½vS2].

zmax = 1/9,8 [ 16,31/0,16 - 0,5 * 12,122]=2,91 ~ 2,9 m.





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