Aurélie 11/09/09

 

L'échographie, comment ça "marche" ?  Bac S  France  septembre 2009.

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En médecine, l’échographie est un examen courant, indolore et non dangereux permettant l’observation « directe » d’organes internes. La technique de l’échographie utilise des ondes ultrasonores produites par une sonde jouant le rôle d’émetteur et de récepteur. Les fréquences utilisées dépendent des organes ou des tissus biologiques à sonder (2 MHz à 15 MHz).

Pour obtenir une image par échographie on exploite entre autres, les propriétés suivantes des ondes ultrasonores :

            - la célérité et l’absorption de l’onde ultrasonore dépendent du milieu traversé

            - lorsqu’elle change de milieu, une partie de l’onde incidente est réfléchie, l’autre est transmise (elle continue son chemin). On dit qu’il y a réflexion partielle lorsqu’il y a changement de milieu aux interfaces tissulaires.

Connaissant les temps de retour des échos, leurs amplitudes et leurs célérités, on en déduit des informations sur la nature et l’épaisseur des tissus traversés. Un ordinateur compile toutes les informations et fournit  des images de synthèse des organes sondés.

L’objectif de cet exercice est, après l’étude de quelques propriétés des ondes ultrasonores, d’illustrer le principe de l’échographie linéaire unidimensionnelle par la mesure de l’épaisseur d’un obstacle.

 Les ondes ultrasonores

Les ondes sonores et ultrasonores sont des ondes mécaniques.
Définir ce qu’on appelle une onde mécanique.

On appelle onde mécanique progressive le phénomène de propagation d'une perturbation dans un milieu matériel sans transport de matière, mais avec transport d'énergie.

Une onde se propage, à partir de la source, dans toutes les directions qui lui sont offertes.

 Les ondes ultrasonores sont des ondes longitudinales.
Donner la définition d'une onde longitudinale.

Une onde est longitudinale lorsque le déplacement des points du milieu de propagation s'effectue dans la même direction que celle de la propagation.

Vitesse de propagation et milieu de propagation

Un émetteur ultrasonore est relié à un générateur de salves. L’émetteur est le siège d’oscillations très brèves. Le récepteur transforme l’onde ultrasonore reçue en signal électrique de même fréquence que cette onde. L’émetteur et le récepteur, placés dans un même milieu, en regard l’un de l’autre et à une distance donnée ℓ, sont reliés à un oscilloscope à mémoire. Les acquisitions sont transférées vers un tableur grapheur scientifique.

Les graphes ci-dessous donnent le signal capté par le récepteur. L’origine des dates t = 0 s est l’instant de l’émission. Selon les milieux traversés on obtient les deux enregistrements figure 7 et figure 8 ci-dessous.

 







Sans faire de calcul, expliquer à l’aide des graphiques dans quel milieu la propagation des ultrasons est la plus rapide.

Dans l'air, le signal reçu  a un retard  de 600 µs  sur le signal émis.
Dans l'eau, le signal reçu a un retard  proche de 150 µs sur le signal émis.
Les ultrasons se déplacent plus rapidement dans l'eau que dans l'air.

 L’émetteur et le récepteur sont séparés par une distance ℓ = 20,0 cm.

Calculer la vitesse de propagation des ultrasons dans l’eau.
Retard du signal reçu par rapport   au signal émis : Dt ~ 180 µs ~ 1,8 10-4 s.
Distance parcourue par les ultrasons : 
ℓ =0,200 m.
Célérité :
/ Dt = 0,200 / 1,5 10-4  =1,3 103 m/s.




 

 



 

Comprendre le principe de l’échographie - Modélisation

Dans un récipient rempli d’eau, on place une plaque de Plexiglas d’épaisseur e. L’eau simule le corps humain dont la composition est de 65 à 90 % d’eau (excepté pour les os et les dents). La plaque de plexiglas simule un muscle dense.

Une sonde échographique constituée d’un émetteur et d’un récepteur est plongée dans l’eau. Les signaux émis et reçus par la sonde sont très brefs. Sur les oscillogrammes, on représentera par un pic simple les signaux nécessaires à l’exploitation. On choisit sur les oscillogrammes l’origine des dates à l’instant de l’émission du signal.

Schéma de principe :


L’oscillogramme figure 10 est obtenu sans la plaque de Plexiglas. À l’instant t = 0 s on visualise le signal émis par la sonde. À l’instant tR , on visualise l’écho réfléchi sur l’objet réflecteur, on l’appellera écho de référence.

La durée de balayage de l’oscilloscope est  : tosc =20 µ div-1.

À l’aide de l’oscillogramme figure 10, déterminer la date tR.
7 divisions correspondent  à 7*20 = 140 µs = 1,4 10-4 s.

Établir que l’expression de la date tR en fonction de la distance D et de la célérité v des ultrasons dans l’eau est  : tR = 2D / v.
L'émetteur et le récepteur étant fixés sur la sonde, les ultrasons parcours l'aller et le retour  ( deux fois la distance sonde-objet réflecteur ) avant d'être recus par la sonde, à la vitesse v :

2D = v tR ou tR = 2D/v.



 





L’oscillogramme figure 11 est obtenu avec la plaque de Plexiglas®. tA et tB sont les dates auxquelles la sonde détecte les ondes réfléchies par les faces de la plaque de Plexiglas®. Le nouvel écho de référence arrive à la date t’R.

La durée de balayage de l’oscilloscope est  : tosc =20 µ div-1

Les ultrasons se propagent-ils plus vite dans l’eau ou dans le Plexiglas? Justifier en comparant les résultats obtenus sur figures 10 et 11.

L'écho de référence parcourt la même distance 2D.
La durée t'R  étant inférieure  à la durée tR, les ultrasons se propagent plus vite dans le plexiglas que dans l'eau. 

On appelle v’ la vitesse de propagation des ultrasons dans le Plexiglas.

Montrer que, la longueur L du trajet total aller-retour du signal dans l’eau uniquement est :L = 2(D-e)
Le signal aller parcourt la distance D-e dans l'eau.
Le signal retour parcourt la distance D-e dans l'eau.
Les ultrasons parcourent la distance L = 2(D-e) dans l'eau.

Exprimer t’R en fonction de D, e, v et v’.
Durée du parcours dans l'eau à la vitesse v :
2(D-e) / v
Durée du percours dans le plexiglas : 2e/v'
Durée totale du parcours : t'R =
2(D-e) / v + 2e/v'.

Donner l’expression de la date tA , date à laquelle la sonde reçoit l’écho dû à la réflexion partielle au point A, en fonction de d et v.

 tA = 2 d/v.

Donner l’expression de la date tB , date à laquelle la sonde reçoit l’écho dû à la réflexion partielle au point B, en fonction de d, e, v et v’.

 tB = 2 d/v + 2e/v'.

À partir des expressions de tR et t’R on montre que  tR -t'R= 2e/v-2e / v' (relation 1)

À partir des expressions de tA et tB on montre que tB-tA =2e/V'  (relation 2)

Montrer que l’épaisseur e de la plaque a pour expression : e = v/2( tR -t'R +tB-tA).
2e/v' =  tB-tA ;
repport dans (1) :  tR -t'R= 2e/v-(tB-tA)

2e/v = tR -t'R+tB-tA.
e = v/2( tR -t'R +tB-tA).

Connaissant les dates suivantes : t’R = 1,2  10 – 4 s ; tA = 6,2  10 – 5 s ; tB = 7,2  10 – 5 s ,

calculer la valeur de l’épaisseur de la plaque en prenant v = 1,43 10 3 m.s – 1.
e = 0,5 *
1,43 10 3 (1,4 10-4 -1,2  10 – 4 +7,2  10 – 5 -6,2  10 – 5) =2,145 10-2 m ~2,1 10-2 m.

À partir de la relation 2, exprimer v’ en fonction de e, tA et tB puis calculer sa valeur. Ce résultat est-il en accord avec la réponse ci-dessus ?

 V' = 2e / (tB-tA) =2*2,145 10-2 /(7,2  10 – 5 -6,2  10 – 5)=4,3 103 m/s.
Cette valeur est supérieure  à la valeur de V : il y a donc accord avec le résultat précédent.




Principe de l’échographie
On place dans  la cuve remplie d'eau un objet en plexiglas présentant  4 épaisseurs différentes simulant la forme d'un muscle.
 

Comment varie t’R au fur et à mesure que la sonde descend ? Justifier.

La distance D est constante. L'épaisseur du plexiglas augmente de haut en bas ; la vitesse des ultrasons  est plus grande dans le plexiglas que dans l'eau : donc t'R diminue lors de la descente de la sonde.

Comment varie l’écart tB – tA entre l’écho réfléchi à l’entrée de l’objet simulant le muscle et l’écho réfléchi à sa sortie lorsque la sonde descend ? Justifier.

Si l'épaisseur du plexiglas augmente, la durée de sa traversée augmente : tB – tA croît.


 


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