Aurélie 18/12/07
 

Capacité thermique, entropie, cycle moteur. concours mines 06

sans calculatrice.

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Thermodynamique du baromètre.

On définit une capacité calorifique à volume constant CV, et une capacité calorifique à pression constante CP.

Rappeler les définitions de CV et CP.

CV : énergie nécessaire pour élever la température d'une mole de corps pur de 1 kelvin, à volume constant.

CP : énergie nécessaire pour élever la température d'une mole de corps pur de 1 kelvin, à pression constante.

Proposer en quelques lignes une méthode simple pour mesurer CP.

Mesurer, à pression constante, la différence de température consécutive à un échange thermique donné.

Pour un solide, ces deux capacités sont considérées comme identiques. Pour quelle raison ?

Peut-on identifier CP et CV pour un gaz ? Pourquoi ?

La dilatation des solides est faible.

Les gaz subissent de forte dilatation et dans ce cas CP est différent de CV.

Quelle relation relie CP et CV pour un gaz parfait ?

Pour n moles d'un un gaz parfait, CP-CV= nR.


Calorimétrie.

Le baromètre, assimilé à un corps solide de capacité calorifique C=CP=CV, est initialement à une température T1. On le plonge dans un lac dont la température T0 est constante et on attend l’équilibre thermique. On définit la variable x par : x= T1/T0.


Exprimer la variation d’entropie du baromètre DSB en fonction de C et de x.

dSB = d QB/T = CdT/T = C d(lnT)

intégrer entre T1 et T0 :

DSB = C ln(T0/T1) = -C ln x.

Exprimer la variation d’entropie du lac DSL en fonction de C et de x.

dSL = -d QB/T0= -CdT/T0 ; intégrer entre T0 et T1 :

DSL = C(T1-T0) / T0 = C(x-1).

La variation d’entropie de l’ensemble « baromètre + lac » est : DSL+B =C [(x-1) - ln x] .

Montrer graphiquement que DSL+B est toujours positive.

C est positif ; x= T1/T0


 

 

 




Machine thermique avec pseudo-source
.

Le baromètre est initialement à une température T1. On dispose d’un lac dont la température T0 est constante, avec T1 > T0.

A l’aide de ces deux sources, on fabrique un moteur dont la machine effectue des cycles réversibles.

Le schéma classique de ce moteur figure ci-dessous.

Soient d QB et d QL les transferts thermiques échangés par la machine avec le baromètre et avec le lac, et d W le travail du moteur fourni au cours d’un cycle.

Au cours d’un cycle, la température du baromètre passe de la valeur T (comprise entre T1 et T0) à la température T + dT.

 

 

 Quelle relation a-t-on entre dW, d QB et d QL ?

La variation d'énergie interne est nulle sur le cycle. Le premier principe s'écrit :

d W + d QB+dQL=0. (1)

Quelle relation a-t-on entre d QB, d QL, T et T0 ?

La variation d'entropieest nulle sur le cycle. Le second principe s'écrit, pour un système réversible :

d QB/T+dQL/T0=0. (2)

Le moteur s’arrête de fonctionner lorsque la température du baromètre atteint la valeur T0.

Exprimer alors les valeurs de QB, QL en fonction de T1 et T0.

d QB = -C dT ; intégrer entre T1 et T0 :

QB = -C(T0 -T1 ).

(2) donne : d QL = -d QBT0 /T = C T0dT /T = C T0d ln T ; intégrer entre T1 et T0 :

QL = C T0 ln (T1/T0).

Définir le rendement de ce moteur en fonction de W et QB, puis en fonction de C, T1 et T0.

 rendement : travail obtenu divisé par l'énergie reçue de la part de la source chaude.

h= -W/QB ;

(1) donne -W= QB+QL ; h= 1+QL / QB.

h= 1-T0 ln (T1/T0) /(T0 -T1 ).





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