Etude de la suspension d'un véhicule, méthode des nombres complexes concours national deug et Mines




Les grandeurs vectorielles sont écrites en gras et en bleu.

Le véhicule étudié est modélisé par un parallélépipède, de centre de gravité G et de masse M, reposant sur une roue par l’intermédiaire de la suspension dont l’axe OG reste toujours vertical. L’ensemble est animé d’une vitesse horizontale v = v ux.
La suspension, quant à elle, est modélisée par un ressort de raideur constante k = 1,0.105 N.m-l (de longueur à vide L0) et un amortisseur fluide de constante d'amortissement constante l= 4,0.103 U.S.I. La masse de l’ensemble est M = 1000 kg.
La position verticale du véhicule est repérée par zG dans le référentiel galiléen proposé ayant son origine sur la ligne moyenne des déformations du sol. On note zO la cote du centre de la roue par rapport au niveau moyen de la route.

L’amortissement entre M et la roue introduit une force de frottement fluide, exercée par l’amortisseur sur M, qui s’écrit : F= - l (dzG/dt- dzO/dt) uz.

La route est parfaitement horizontale.
La route ne présente aucune ondulation et le véhicule n’a aucun mouvement vertical.
Déterminer la position zGeq de G lorsque le véhicule est au repos.
Le véhicule est soumis à son poids ( verticale, vers le bas, valeur Mg), à la force de rappel exercée par la suspension ( verticale, vers le haut, valeur k(L0-L)).
A l'équilibre les deux forces se compensent :
Mg = k(L0-L) avec L = zGéq-zO.
Mg = k(L0-zGéq+zO).
zGéq = L0+zO- Mg/k
.

Suite à une impulsion soudaine, le véhicule acquiert un mouvement d’oscillations verticales. On cherche dans cette question à établir l’équation différentielle caractéristique du mouvement par une méthode énergétique.
On étudie le mouvement par rapport à la position d’équilibre établie précédemment. On posera z = zG – zGeq.
Etablir l’expression de l’énergie potentielle de pesanteur
.
Epp = MgzG + Cte.

On choisit l'origine de l'énergie potentielle à l'altitude z= zGeq. La constante vaut alors : Cte = - MgzGeq.
Epp = Mg( zG – zGeq) ; Epp = Mgz.
Etablir l’expression de l’énergie potentielle élastique.
Epe = ½k(L-L0)2+ Cte avec L = zG-zO.
Epe = ½k( zG -z0 -L0 )2+ Cte ; Epe = ½k(zG -zGeq + zGeq -zO - L0)2+ Cte
Epe = ½k( z -L0-zO + zGeq-z )2+ Cte ; Epe = ½k( z - Mg/k)2+ Cte.


Appliquer le théorème de l’énergie cinétique à la masse et en déduire l’équation différentielle en z caractéristique du mouvement.
La dérivée par rapport au temps de l'énergie mécanique est égale à la puissance de la force de frottement fluide ( force non conservative).
EM= ½Mv2 + Epp+Epe.
dEM/dt =M v dv/dt + Mg dz/dt + k(z-Mg/k ) dzG/dt
dEM/dt =M v dv/dt +kz dzG/dt.
De plus : z = zG – zGeq ; dz/dt = dzG/dt et v = dz/dt ; dv/dt = d2zG/dt2
dEM/dt=(Md2z/dt2 + kz ) dz/dt.
Force de frottement fluide sur une route horizontale : F= - l dzG/dtuz.
puissance de la force de frottement fluide : F. dzG/dt uz= - l dzG/dt uz.dzG/dt uz
F. dzG/dt uz= - l d2zG/dt2
Par suite : Md2z/dt2 + kz = - ldz/dt.
d2z/dt2 + l/M dz/dt + k/M z = 0.
Dessiner, qualitativement, les allures envisageables de la fonction z(t).
(la résolution de l’équation différentielle n’est pas demandée).


 

La route est ondulée : (fig 2)

Le véhicule se déplace à vitesse horizontale constante v sur un sol ondulé. L’ondulation est assimilée à une sinusoïde de période spatiale L et d’amplitude A. zO peut alors s’écrire zO = R + Acos(wt).
On étudie maintenant le mouvement par rapport à la position d’équilibre établie précédemment.
On posera z = zG – zGeq.
Pour les applications numériques on prendra L = 1 m ; A = 10 cm.
Quelle est l’unité de l ?
l/M dz/dt a la dimension d'une accélération. [l/M dz/dt] = L T-2.
[dz/dt] = L T-1 ; [M] = M ; [l] M-1 L T-1= L T-2.
[l] = M T-1. ( unité : kg s-1).
Exprimer w en fonction de v et L. Vérifier l’homogénéité du résultat.
w = 2 p / T avec T = L/v d'où : w = 2 p v/L, exprimé en rad s-1.
En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la masse M dans le référentiel terrestre supposé galiléen,
établir l'équation différentielle en z régissant le mouvement.
Md2z/dt2 = -Mg- k (L-L0) -l (dzG/dt- dzO/dt)
avec dzO/dt= -Awsin(wt) et L = zG-zO.
Md2z/dt2 = -[Mg+ k ( zG-zO-L0)] -l (dzG/dt+ Awsin(wt)).
Or Mg = k(L0-zGéq+R) d'où : Mg+ k ( zG-zO-L0) =k(zG-zGéq+R-zO-)= kz -kAcos(wt).
Md2z/dt2 = -kz +kAcos(wt) -ldzG/dt -l Awsin(wt).
d2z/dt2 +l/M dz/dt + k/M z = kA/M cos(wt) -l Aw/ Msin(wt).(1)

 


Justifier qualitativement le fait que l’on recherche la solution z(t) de cette équation différentielle sous une forme sinusoïdale z(t) = zmax.cos(wt+j).
La solution générale de (1) s'obtient en additionnant :
- la solution générale de l'équation homogène ( régime transitoire).
d2z/dt2 +l/M dz/dt + k/M z =0
- une solution particulière de (1) correspondant au régime forcé.
Le régime transitoire étant de courte durée, la solution particulière ( régime forcé) s'impose rapidement.

Résolution par la méthode des complexes.

On pose z = Z.exp(jwt ), réponse complexe du véhicule à l’excitation sinusoïdale et zO - R= Aexp(jwt ).

Montrer que

d2z/dt2 +l/M dz/dt + k/M z va s'écrire :
Dériver par rapport au temps correspond à la multiplication par jw:
d2z/dt2 = -w2Z.exp(jwt )
dz/dt = jwZ.exp(jwt ) ; l/M dz/dt =l/MjwZ.exp(jwt )
[-w2 +j lw/M +k/M] Z.exp(jwt ).


k/M Acos(wt) -l / M Aw sin(wt) va s'écrire :

à Acos(wt) on associe Aexp(jwt ) ;
à sa dérivée -Aw sin(wt) on associe jw Aexp(jwt ) ;

d'où l'écriture [ k/M+l / Mjw] Aexp(jwt ).




Mettre sous la forme :

H2= -w2 +j lw/M +k/M
On pose
w02 = k/M d'où : w02 [ -w2 / w02 + j lw/ (Mw02) +1]
On pose alors
Q= (kM)½/ l.
-
w2 +j lw/M +k/M s'écrit : w02 [ -w2 / w02 + j w/ (Qw0) +1]


H1= k/M+l / Mjw = k/M ( 1+ jw l / k) = w02 [1+ jw l / k]

On pose alors w1 = k/ l.

 k/M+l / Mjw = w02 [1+ jw / w1 ]


w02 = k/M = 1,0 105 / 1000 = 100 ; w0 = 10 rad s-1
w
1 = k/ l = 1,0 105 / 4,0 103 = 25 rad s-1
Q= (kM)½/
l = 104 / 4,0 103 = 2,5.
Donner l'expression du module |Z / A| en fonction de
w0, w1 et Q.
Module de
H1 : [1+(w / w1)2]½
Module de
H2 : [(1-(w2 / w02)2+(w/ (Qw0))2] ½

d'où :



Etude fréquentielle.

On souhaite maintenant étudier l’amplitude des oscillations en fonction de la vitesse de la voiture.
Pour cela on étudie donc
|Z / A| en fonction de w.
Tracer le diagramme de Bode asymptotique relatif à |Z / A|. Tracer l’allure de |Z / A|
.
Remarque : on pourra tracer au préalable les diagrammes relatifs à |H1| puis à |H2|.
G1 = 20 log [1+(w / w1)2]½ = 10 log [1+(w / w1)2]
si
w tend vers 0, alors G1 tend vers 0.
si
w tend vers l'infini, alors G1 tend vers l'infini. G1 est équivalent à 20 log (w / w1).
La pente de l'asymptote est 20 dB par décade.

G2 = 20 log [(1-(w2 / w02)2+(w/ (Qw0))2] ½ = 10 log[(1-(w2 / w02)2+(w/ (Qw0))2]
si
w tend vers 0, alors G2 tend vers 0.
si
w tend vers l'infini, alors G2 tend vers l'infini. G2 est équivalent à 40 log (w / w0).
La pente de l'asymptote est 40 dB par décade.


w r, valeur de w pour laquelele l’amplitude est maximale, est de l’ordre de grandeur de w0.
Quell est la valeur de v correspondante ?
w = 2 p v/L

v = w0 L/(2p) = 10 *1/6,28 =1,59 m/s ou 1,593*3,6 = 5,7 km/h.

Calculer l'amplitude des oscillations du véhicule pour w =w0.
Module de H1 : [1+(w0 / w1)2]½ =[1+(10/25)2]½ =1,077.
Module de
H2 : [(1-(w02 / w02)2+(w0/ (Qw0))2] ½=[1/Q2]½ =1/2,5 =0,4.
module de
H1 / H2 : 1,077/0,4 = 2,69.
amplitude maximale : A*2,69 = 10*2,69 =
26,9 cm.

Dans le film « le salaire de la peur », Yves Montand conduit un camion (w0 =25 rad s-1) chargé de nitroglycérine. Il passe sur une tôle ondulée de période spatiale 1 m et pour laquelle A=10 cm. Afin d’éviter l’explosion du chargement il doit traverser la taule à une vitesse inférieure à 5 km/h ou supérieure à 50 km/h.

Justifier qualitativement ceci à l’aide des résultats précédents.
D'après le graphe ci-dessus, au voisinage de w0 , pour une même valeur du gain, on trouve deux valeurs de w.
C'est à dire deux valeurs de la vitesse pour lesquelles l'amplitude des oscillations risque de conduire à une explosion.



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