Etude de la suspension d'un véhicule, méthode des nombres complexes concours national deug et Mines

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.

Le véhicule étudié est modélisé par un parallélépipède, de centre de gravité G et de masse M, reposant sur une roue par l’intermédiaire de la suspension dont l’axe OG reste toujours vertical. L’ensemble est animé d’une vitesse horizontale v = v u_x.
La suspension, quant à elle, est modélisée par un ressort de raideur constante k = 1,0.10⁵ N.m^-l (de longueur à vide L₀) et un amortisseur fluide de constante d'amortissement constante l= 4,0.10³ U.S.I. La masse de l’ensemble est M = 1000 kg.
La position verticale du véhicule est repérée par z_G dans le référentiel galiléen proposé ayant son origine sur la ligne moyenne des déformations du sol. On note z_O la cote du centre de la roue par rapport au niveau moyen de la route.

L’amortissement entre M et la roue introduit une force de frottement fluide, exercée par l’amortisseur sur M, qui s’écrit : F= - l (dz_G/dt- dz_O/dt) u_z.

La route est parfaitement horizontale.
La route ne présente aucune ondulation et le véhicule n’a aucun mouvement vertical.
Déterminer la position z_Geq de G lorsque le véhicule est au repos.
Le véhicule est soumis à son poids ( verticale, vers le bas, valeur Mg), à la force de rappel exercée par la suspension ( verticale, vers le haut, valeur k(L₀-L)).
A l'équilibre les deux forces se compensent :
Mg = k(L₀-L) avec L = z_Géq-z_O.
Mg = k(L₀-z_Géq+z_O).
z_Géq = L₀+z_O- Mg/k.

La route est ondulée : (fig 2)

Le véhicule se déplace à vitesse horizontale constante v sur un sol ondulé. L’ondulation est assimilée à une sinusoïde de période spatiale L et d’amplitude A. z_O peut alors s’écrire z_O = R + Acos(wt).
On étudie maintenant le mouvement par rapport à la position d’équilibre établie précédemment.
On posera z = z_G – z_Geq.
Pour les applications numériques on prendra L = 1 m ; A = 10 cm.
Quelle est l’unité de l ?
l/M dz/dt a la dimension d'une accélération. [l/M dz/dt] = L T^-2.
[dz/dt] = L T^-1 ; [M] = M ; [l] M^-1 L T^-1= L T^-2.
[l] = M T^-1. ( unité : kg s^-1).
Exprimer w en fonction de v et L. Vérifier l’homogénéité du résultat.
w = 2 p / T avec T = L/v d'où : w = 2 p v/L, exprimé en rad s^-1.
En appliquant le principe fondamental de la dynamique à la masse M dans le référentiel terrestre supposé galiléen,
établir l'équation différentielle en z régissant le mouvement.
Md²z/dt² = -Mg- k (L-L₀) -l (dz_G/dt- dz_O/dt)
avec dz_O/dt= -Awsin(wt) et L = z_G-z_O.
Md²z/dt² = -[Mg+ k ( z_G-z_O-L₀)] -l (dz_G/dt+ Awsin(wt)).
Or Mg = k(L₀-z_Géq+R) d'où : Mg+ k ( z_G-z_O-L₀) =k(z_G-z_Géq+R-z_O-)= kz -kAcos(wt).
Md²z/dt² = -kz +kAcos(wt) -ldz_G/dt -l Awsin(wt).
d²z/dt² +l/M dz/dt + k/M z = kA/M cos(wt) -l Aw/ Msin(wt).(1)

Justifier qualitativement le fait que l’on recherche la solution z(t) de cette équation différentielle sous une forme sinusoïdale z(t) = zmax.cos(wt+j). La solution générale de (1) s'obtient en additionnant : - la solution générale de l'équation homogène ( régime transitoire). d2z/dt2 +l/M dz/dt + k/M z =0 - une solution particulière de (1) correspondant au régime forcé. Le régime transitoire étant de courte durée, la solution particulière ( régime forcé) s'impose rapidement.

Résolution par la méthode des complexes.

On pose z = Z.exp(jwt ), réponse complexe du véhicule à l’excitation sinusoïdale et z_O - R= Aexp(jwt ).

Montrer que

d²z/dt² +l/M dz/dt + k/M z va s'écrire :
Dériver par rapport au temps correspond à la multiplication par jw:
d²z/dt² = -w²Z.exp(jwt )
dz/dt = jwZ.exp(jwt ) ; l/M dz/dt =l/MjwZ.exp(jwt )
[-w² +j lw/M +k/M] Z.exp(jwt ).

à Acos(wt) on associe Aexp(jwt ) ;
à sa dérivée -Aw sin(wt) on associe jw Aexp(jwt ) ;

d'où l'écriture [ k/M+l / Mjw] Aexp(jwt ).

Mettre sous la forme :

H₂= -w² +j lw/M +k/M
On pose w₀² = k/M d'où : w₀² [ -w² / w₀² + j lw/ (Mw₀²) +1]
On pose alors Q= (kM)^½/ l.
-w² +j lw/M +k/M s'écrit : w₀² [ -w² / w₀² + j w/ (Qw₀) +1]

On pose alors w₁ = k/ l.

 k/M+l / Mjw = w₀² [1+ jw / w₁ ]

d'où :

On souhaite maintenant étudier l’amplitude des oscillations en fonction de la vitesse de la voiture.
Pour cela on étudie donc |Z / A| en fonction de w.
Tracer le diagramme de Bode asymptotique relatif à |Z / A|. Tracer l’allure de |Z / A|.
Remarque : on pourra tracer au préalable les diagrammes relatifs à |H₁| puis à |H₂|.
G₁ = 20 log [1+(w / w₁)²]^½ = 10 log [1+(w / w₁)²]
si w tend vers 0, alors G₁ tend vers 0.
si w tend vers l'infini, alors G₁ tend vers l'infini. G₁ est équivalent à 20 log (w / w₁).
La pente de l'asymptote est 20 dB par décade.

G₂ = 20 log [(1-(w² / w₀²)²+(w/ (Qw₀))²] ^½ = 10 log[(1-(w² / w₀²)²+(w/ (Qw₀))²]
si w tend vers 0, alors G₂ tend vers 0.
si w tend vers l'infini, alors G₂ tend vers l'infini. G₂ est équivalent à 40 log (w / w₀).
La pente de l'asymptote est 40 dB par décade.

v = w₀ L/(2p) = 10 *1/6,28 =1,59 m/s ou 1,593*3,6 = 5,7 km/h.

Calculer l'amplitude des oscillations du véhicule pour w =w₀.
Module de H₁ : [1+(w₀ / w₁)²]^½ =[1+(10/25)²]^½ =1,077.
Module de H₂ : [(1-(w₀² / w₀²)²+(w₀/ (Qw₀))²] ^½=[1/Q²]^½ =1/2,5 =0,4.
module de H₁ / H₂ : 1,077/0,4 = 2,69.
amplitude maximale : A*2,69 = 10*2,69 = 26,9 cm.

Justifier qualitativement ceci à l’aide des résultats précédents.
D'après le graphe ci-dessus, au voisinage de w₀ , pour une même valeur du gain, on trouve deux valeurs de w.
C'est à dire deux valeurs de la vitesse pour lesquelles l'amplitude des oscillations risque de conduire à une explosion.