Aurélie 30/12/07
 

facteur de qualité : étude d'un oscillateur amorti concours Mines 04

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 Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.

On considère le dispositif mécanique suivant, placé dans le référentiel R du laboratoire, supposé galiléen.

Il est composé d’une bille M, supposée ponctuelle, de masse m qui glisse sans frottement sur un axe horizontal. Elle est reliée :

• à un ressort de raideur k et de longueur à vide l0, maintenu fixé à une de ses extrémités à un mur vertical.

• à un dispositif « amortisseur » fixé au même mur, qui soumet la bille à une force de frottement de type fluide   f = -h v.

On note O, la position de la bille quand le ressort est à sa longueur à vide, et en prenant O comme origine, on repère la position de M par x= mesure algébrique de OM.

Faire un bilan des forces et justifier très brièvement que le système n’est pas conservatif.

La force de frottement fluide n'est pas conservative : l'énergie mécanique va diminuer.

En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à la bille, montrer que la variation de l’énergie mécanique s’écrit sous la forme :

dEm= -hv2dt.

Entre les instants t et t +dt :

Le poids et l'action du support, perpendiculaires à la vitesse, ne travaillent pas. La puissance de ces forces est nulle.

Travail de la force de rappel : -kxdx ; puissance : -kxdx/dt.

Travail de la force de frottement fluide : -fv dx avex dx=vdt soit -fv2dt ; puissance : -fv2

Théorème de l'énergie cinétique : dEc/dt = -kx dx/dt -fv2.

or kx dx = dEpotentielle élastique = dEp, d'où : dEc/dt + dEp/dt = -fv2 ; d(Ec+Ep)/dt = dEM/dt.

dEM/dt = -fv2.

 

 


Appliquer le Principe Fondamental de la Dynamique à la bille dans R, et montrer que :

Sur l'axe des abscisses : -kx- hv = md2x/dt2 avec v = dx/dt.

d2x/dt2 + h/m dx/dt + k/m x = 0

 On pose w02 = k/m ; Q= mw0/h soit h/m = w0/Q.

d'où : d2x/dt2 + w0/Q dx/dt +w02 x =0. (1)

On se place dans le cas du régime pseudo-périodique. Les solutions sont de la forme :

Donner la condition sur Q pour être dans un tel régime.

Equation caractéristique liée à (1) :

r2 + w0/Q r +w02 =0. Discriminant D = (w0/Q)2-4w02.

Le discriminant est négatif dans le cas du régime pseudo-périodique.(w0/Q)2-4w02 <0 soit Q >0,5.

 


Tracer l’allure de x(t).

On se place dans le cas de l'amortissement faible Q >>1.

Exprimer |DT/T0|= |(T-T0)/T0| en fonction de Q et en déduire que w proche w0.

w=w0[1-1/(4Q2)]½ ; w0 = 2p/T0 ; w = 2p/T ; w /w0 =T/T0 = [1-1/(4Q2)]½ ;

|(T-T0)/T0| = | [1-1/(4Q2)]½ -1|

Or si Q<<1, [1-1/(4Q2)]½ voisin de 1-1/(8Q2)] et | [1-1/(4Q2)]½ -1| proche de 1/(8Q2)

|DT/T0|= 1/(8Q2).

Si Q >>1, alors DTproche de 0, T proche deT0 et w proche de w0.

 

 




Interprétation énergétique du facteur de qualité Q.

On suppose w =w0.

Justifier que l’énergie potentielle de M peut s’écrire Ep(t) =½kx2(t), puis expliciter Ep(t).

Travail de la force de rappel : dW= -kx dx

Expliciter Ec(t), l’énergie cinétique de M en fonction du temps.

Montrer que l’énergie mécanique Em(t) est de la forme Ec(t) = K1exp(-K2t) où l’on exprimera K1 en fonction de A et k , et K2 en fonction de w0 et Q.

 

 




On définit la variation d’énergie mécanique par: DEm(t)=|Em(t+T-Em(t)|.

Montrer que Q = 2pEm(t) /DEm(t).



 


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