Aurélie 15/01/08
 

Pompe à chaleur : diagramme entropique, chauffage d'une piscine. concours Mines 03

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Une pompe à chaleur permet de maintenir constante la température de l'eau de la piscine ; on se placera donc en régime permanent. La machine thermique fonctionne avec deux sources de chaleur (thermostats) : l'air extérieur de température Text et l'eau de la piscine de température Teau.

Le fonctionnement de la pompe à chaleur est basé sur le cycle d'un fluide caloporteur ayant une température d'ébullition basse. Le fluide caloporteur, initialement sous forme d’un mélange liquide-vapeur au point 1, traverse l'évaporateur où l'air extérieur lui permet de subir une vaporisation complète (trajet 1-2). Le compresseur comprime ensuite cette vapeur (trajet 2-3), augmentant ainsi sa température ; on supposera cette transformation isentropique. Au niveau du condenseur, la vapeur surchauffée voit d'abord sa température descendre jusqu'à Teau en suivant une transformation isobare (trajet 3-4). Le fluide caloporteur,

toujours comprimé, redevient ensuite liquide (trajet 4-5). La soupape de détente réduit la pression du fluide caloporteur (trajet 5-1), transformation au cours de laquelle la température du fluide s'abaisse fortement le rendant prêt pour un nouveau cycle.

Pour un point i (compris entre 1 et 5) du cycle, on note Pi, Ti et Vi la pression, la température et le volume du fluide caloporteur.

Calculer la variation d’entropie DS de la vapeur assimilée à un gaz parfait pour une transformation isobare entre les températures T3 et T4.

L'entropie est une fonction d'état. Sa variation ne dépend que de l'état final et de l'état initial. On imagine une transformation réversible allant de l'état 3 à l'état 4.

Variation élémentaire d'entropie : dS = Cp dT / T avec Cp indépendant de la température.

dS= Cp d ln T.

Puis intégrer de T3 à T4 : DS= Cp ln (T4 /T3 ).

Le dessin de la figure 1 donne l'allure de la courbe d'équilibre liquide-vapeur du fluide considéré dans le diagramme (T,S). On y a repéré le point 1 correspondant au début du cycle. Reproduire le schéma sur votre feuille et placer les points 2, 3, 4 et 5.

Pour chaque trajet (sauf le trajet 5-1), justifier rapidement l’allure des courbes ainsi obtenues.

Trajet 1-2 : la vaporisation s'effectue à pression et température constante : droite horizontale.

Le liquide est entièrement vaporisé.

Trajet 2--3 :compression isentropique : droite verticale.

Trajet 3--4 :   isobare d'un gaz DS=S4-S3 = Cp ln (T4/T3). La température de la vapeur diminue jusu'à Teau.

Trajet 4--5 : la vapeur se condense à température constante.( droite horizontale )

Trajet 5--1 : refroidissement du liquide.


 

Reproduire le diagramme de la figure 2 et indiquer par des flèches les sens réels des flux thermiques et du travail. Indiquer dans quelles étapes du cycle ces flux ont lieu.

Quel est l'intérêt, pour une pompe à chaleur, d’utiliser un changement d’état ?

Un liquide peut emmagasiner plus d'énergie qu'un gaz : la vapeur libère beaucoup plus d'énergie en se condensant qu'en se refoidissant.

Quel est l'intérêt d'utiliser un fluide caloporteur de température d'ébullition basse ?

La température de vaporisation du fluide doit être comprise entre la température de la source froide et celle de la source chaude.

 


Donner la définition de l'efficacité thermodynamique h de la pompe à chaleur.

Energie cédée à la source chaude / travail investi.

h = -Qchaude / W.

Montrer que l'efficacité réelle de toute pompe à chaleur est inférieure à l’efficacité hc obtenue dans le cas d’un fonctionnement réversible. On a ici h = 5

Le premier principe s'écrit sur le cycle :

DU=0 = W+Qfroide+Qchaude(1).

Second principe : Qfroide/ Tfroide +Qchaude/ Tchaude <=0 (2).

(1) donne : W= -Qfroide-Qchaude.

h = -Qchaude / W = Qchaude / (Qfroide+Qchaude)

h =1/ [Qfroide/ Qchaude+1 ]

(2) donne : Qfroide/ Qchaude<= -Tfroide/ Tchaude .

h <=1/ [1-Tfroide/ Tchaude ].

L'égalité correspond à la réversibilité.




Les pertes de la piscine sont essentiellement dues à l'évaporation de l'eau dans l'air. Dans les conditions précisées plus haut, le taux d'évaporation par heure et par mètre carré de surface d'eau est de a = 150 g.h-1.m-2.

En déduire l'énergie perdue pendant une heure par l'eau de la piscine.

Données : surface de la piscine : S= 250 m2. Ceau = 4,18 J g-1 K-1 ; Text = 283 K ; Teau = 299 K; Lvap =2800 J g-1.

Masse d'eau évaporée par heure par une surface de 250 m2 :

m = 250*150 =3,75 104 g.

Energie perdue par cette eau : E= m Lv = 3,75 104 *2800 =1,05 108 J.

Quel doit être le travail que l'on doit fournir au fluide pour que la pompe à chaleur puisse maintenir la température de la piscine constante pendant une heure ?

h = 5 = -Qchaude / W d'où W = 5*(-Qchaude) = 1,05 108 / 5 = 2,1 107 J.

Comparer ce travail à l'énergie qu'il aurait fallu fournir si on chauffait l'eau de la piscine avec une simple résistance électrique.

L'énergie électrique doit compenser l'énergie perdue par l'eau de la piscine, soit : 1,05 108 J, cinq fois plus grand que dans le cas de la pompe à chaleur.

Une pompe permet de faire circuler l'eau de la piscine à travers des panneaux solaires (simples tuyaux noirs) placés sur le toit du bâtiment. L'énergie solaire réchauffe l'eau des panneaux qui retourne ensuite dans la piscine.

Soit S' = 100 m2 la surface des panneaux solaires.

Déterminer l'énergie reçue par l'eau de la piscine pendant une heure en supposant que l'éclairement moyen reçu au niveau des panneaux solaires est de 300 W/m2 et que toute l'énergie solaire y est absorbée.

Puissance solaire reçue par 100 m2 de panneaux :

300*100 = 3 104 W.

Energie reçue pendant 1 h = 3600 s :

3 104 *3600 = 1,08 108 J.




 




 


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