Aurélie 12/09/08
 

 

Transitoires thermiques et électriques Mines 2002.

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Transitoire électrique :

Un dipôle comporte entre ses bornes un résistor de résistance R et un condensateur de capacité C placés en série.

On le place aux bornes d'un générateur de force électromotrice E et de résistance interne Rg en série avec un interrupteur K .

Initialement, le circuit est ouvert et le condensateur déchargé. Soit, uC la tension aux bornes du condensateur. A l'instant t=0, on ferme l'interrupteur, K .


  • Determiner, sans calcul et en le justifiant uC(0+), i(0+).
  • Continuité de la tension aux bornes du condensateur ou conservation de l'énergie : juste après la fermeture de K, le condensateur n'a pas encore eu le temps de se charger : uC(0+) = uC(0) = 0.
  • Additivité des tensions : E = uC(0+) + (R+Rg)i(0+).
uC(0+) =0 d'où : i(0+) = E/R.
  • Etablir l'équation différentielle à laquelle obéit uC(t) .
    Additivité des tensions : E = uC(t) + (R+Rg) i(t).
    Or q(t) = C uC(t) et i(t) = dq(t)/dt d'où : i(t) = CduC(t) /dt.
    E = uC(t) + (R+Rg) C duC(t) /dt ;
    duC(t) /dt + 1/((R+Rg)C) uC(t) =+E/((R+Rg)C).
    u'C+1/t uC =E/t (1)
  • Déterminer la constante de temps t du circuit, et donner son interpretation physique.
    t = (R+Rg)C.
    Au bout d'une durée supérieure à 5
    t, le régime permanent est atteint : condensateur chargé.
  • Etablir l'expression de uC(t).
    Solution générale de l'équation différentielle sans second membre u'C+1/
    t uC=0
    uC=A exp(-t/
    t) avec A une constante
    Solution particulière de (1), régime permanent : uC(t) = E.
    Solution générale de (1) : uC=A exp(-t/
    t) +E
    On détermine A grâce aux conditions initiales uC(0)=0 soit : 0=A +E ; A=E.
    uC=E(1- exp(-t/t).
  • Déterminer l'expression de t1 pour que uC=0,9E.
    uC(t1) = 0,9 E = E (1-exp(-t1/
    t)) ; 0,9 = 1-exp(-t1/t) ; exp(-t1/t) = 0,1.
    -t1/
    t = ln 0,1 ; t1= t ln 10.





Dans l'étude expérimentale du circuit RC, on observe l'oscillogramme ci-dessous en utilisant un générateur délivrant des signaux créneaux.

Les sensibilités sont : 1V/carreau vertical ; 0,1 ms/carreau horizontal . On néglige les caractéristiques de l'oscilloscope.

  • Identifier les courbes (1) et (2) aux voies A et B en justifiant votre choix.
    D'après les branchements de l'oscilloscope, on visualise voie A, la tension aux bornes du générateur et voie B la tension aux bornes du condensateur.
    Or uC(t) est une fonction exponentielle croissante de 0 à E : (1) correspond à uC(t).
    De plus on constate la continuité de la courbe (1).
  • Doit-on être sur le couplage alternatif AC ou le couplage continu DC ?
    DC : on travaille avec un générateur de tension continue.

  • Preciser l'expression de la tension au point P. Sachant que R =100 W, déterminer Rg .
    Tension aux bornes du générateur à t=0+.
Le condensateur est déchargé : uC(0+)=0 et i(0+) = E/(R+Rg).
Tension aux bornes du générateur : E - Rgi(0+) =E[ 1- Rg/(R+Rg)]

VP=E R / (R+Rg).
VP= 2/3 E ( lecture graphe) ; 2/3(R+Rg) = R ; Rg = 0,5 R = 50 W.

  • En déduire la valeur de C et E.
    1V/carreau vertical : E = 6 V.
    Durée de la charge du condensateur : ~ 8 carreaux soit 0,8 ms
    5 t ~ 8 10-4 s ; t ~ 1,6 10-4 s.
    t = (R+Rg) C ; C ~ 1,6 10-4 /150 = 1,1 10-6 F.
  • Estimer une majoration de la fréquence du signal carré utilisé.
    Pour observer la charge complète il faut que la période du signal carré soit supérieure à 5 t soit 8 10-4 s.
    fréquence inférieure à 1/8 10-4 soit f <1250 Hz.
    Pour observer une charge et décharge complètes : f < 625 Hz.
  • Comment pourrait-on observer l'intensité ?
La tension uR aux bornes d'un conducteur ohmique et l'intensité qui le traverse sont proportionnelles : l'image de uR est l'image de l'intensité au facteur R près.

Permutter R et C : on observe alors voie B, l'image de l'intensité.

Transitoire thermique.

On donne : m= 200 g ; c= 4,18 J K-1 g-1 ; G = 50 J/K;

On rappelle que T(K)=T(°C)+273,15.

Dans un calorimètre de capacite thermique G à la température extérieure, Text , on verse une masse m d'eau à la température extérieure, Text et on plonge une résistance chauffante de valeur R , alimentée sous une tension continue U. On considèrera comme système {eau-calorimètre}

On note T la température, t le temps et c la capacité thermique massique de l'eau.

On admet de plus que les fuites thermiques peuvent se traduire par une puissance de perte pext=k (T-Text).




  • A quelle variation de fonction d'état s'identifie dQ ?
    A une pression constante, d Q correspond à la fonction d'état enthalpie dH.
  • Faire un bilan d'énergie pendant un intervalle de temps dt. Montrer que dT/dt +T/t =TM/t.
    Energie gagnée par l'eau et le calorimètre : d Q = (mc+G) dT
    Energie perdue vers l'extérieur : pext dt=k (T-Text)dt
    Energie fournie par la résistance chauffante R : UIdt = U2dt/R.
    Bilan : U2/R dt = (mc+G) dT +k (T-Text)dt
  • Quelle est l'interprétation physique de TM ?
Température en régime permanent : la puissance Joule compense, à chaque instant, la puissance perdue vers l'extérieur.

On coupe le chauffage. On négligera la capacité thermique de la résistance chauffante.

  • Refaire un bilan d'énergie pendant un intervalle de temps dt. En déduire T(t) .
On notera T0=T , la température à l'instant t=0.

Energie cédée par l'eau et le calorimètre : d Q = - (mc+G) dT
Energie perdue vers l'extérieur : pext dt=k (T-Text)dt
Bilan : -(mc+G) dT = k (T-Text)dt
dT/ dt + kT / (mc+G) = kText/ (mc+G).

dT/dt + T/t = Text/ t. (2)

Solution générale de l'équation différentielle sans second membre T'+T/t=0

T=A exp(-t/t) avec A une constante
Solution particulière de (2), régime permanent : T = Text.
Solution générale de (2) : T=Aexp(-t/
t) +Text.

On détermine A grâce aux conditions initiales soit : T0=A +Text ; A=T0-Text.
T=(T0-Text)exp(-t/
t) +Text ; T=Text(1-exp(-t/t) )+T0exp(-t/t).




On enregistre grâce à une interface la température T(t) au cours du refroidissement.
  • Déterminer sur l'enregistrement t et Text. En déduire k.
k = (mc+G)/t = (200*4,18+50)/120 =7,38 W K-1.

En déduire, littéralement puis numériquement entre les instants initial et final :

  • la variation d'entropie pour le calorimètre DScalorimètre.
  • la variation d'entropie pour l'eau DSeau.
  • l'entropie échangée Séchange.
    (mc+
    G) ( Text-T0) / Text = (200*4,18+50)*(-25) /293 = -75,6 J K-1.
  • l'entropie créée Scréee.
    DS =Séchange+ Scréee ; Scréee =-4,09-68,5+75,6 = 3,0 J K-1.
  • Conclusion.
    Scréee étant positive, la transformation est
    irréversible.


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