Aurélie 29/09/08
 

 

électron dans un champ électrique, circuit inductif.

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circuit inductif.

Un circuit est constitué par une bobine d'induction propre(self-induction) L en série avec une résistance R dont une fraction est initialement court-circuitée : la résistance initiale n' est que r. Il est alimenté par une source de tension E de résistance interne négligeable.

Loi d'évolution du courant après l'ouverture de l'interrupteur.

additivité des tensions : uL+uR= 0 avec uR= Ri.

uL =
L di
dt
Equation différentielle régissant l'intensité :

L di
dt
+R i=0
Solution de cette équation différentielle :

i(t) =A exp(-t/t) avec t = L/R, constante de temps

Lorsque le régime permanent est établi , l'intensité est constante, égale à I = E/R ;

A la date de l'ouverture i(0) = I = E/R d'où : i(t) =E/R exp(-t/t).

Différence de potentiel aux bornes de l'interrupteur au moment de l'ouverture.

Ouverture de l'interrupteur :

Continiuité de l'intensité à la date de l'ouverture de l'interrupteur K : uR (0) = RI = E

Discontinuité de la tension aux bornes de la bobine : uL(0) =L [di/dt ]t=0= -E.

Additivité des tensions : E = uL(0)+ uR(0) + uK (0) d'où uK (0) = E à la date de l'ouverture de l'interrupteur.


temps de transit :

Calcul du temps de transit d'un électron de la cathode à l'anode d'une diode dont les électrodes sont supposées planes et parallèles (on négligera la vitesse initiale et les effets relativistes)  


 

 

La différence de potentiel de l'anode à la cathode est U=50 volts.La distance athode-anode d=1 mm = 10-3 m.

La charge massique de l'électron e/m=1,76 1011 C kg-1.

L'électron étant placé dans un champ électrique E est soumis à une force électrique de valeur F= e E.

Le poids des électrons est négligeable devant la force électrique.

Ecrire la deuxième loi de newton, d'où la valeur de l'accélération de l'électron :

a = e/m E ; avec E = U/d d'où a :

a =
eU
md
=
1,76 1011*50
10-3
= 8,8 1015 m s-2.
Le mouvement de l'électron est rectiligne uniformément accéléré avec une vitesse initiale nulle:

La distance d est parcourue pendant la durée t telle que : d = ½at2 ;

t =
(2d)½
a½
=
(2 10-3)½
(8,8 1015)½
= 4,8 10-10 s.





Calcul du temps de transit d'un électron de la cathode à l'anode à l'écran fluorescent d'un tube des oscilloscopes :

- en tenant compte des effets relativistes : EC=mc2[g-1 ] avec g = (1-v2/c2)-1.

Donnés : U=25 kV = 2,5 104 V ; distance anode cathode d=25cm = 0,25 m

Accélération :

a =
eU
md
=
1,76 1011*2,5 104
0,25
= 1,76 1016 m s-2.
Or a = Dv/Dt = v / Dt ( la vitesse initiale étant nulle) d'où la durée : Dt = v/a.

Vitesse finale v :

DEC = eU; l'énergie cinétique initiale étant nulle, il vient : mc2[g-1 ] = eU.

g-1 =
eU
mc2
=
1,76 1011*2,5 104
(3 108)2
= 4,89 10-2.


g = 1,0489 ; or g = (1-v2/c2)-1 d'où (1-v2/c2) = 1/1,0489 =0,953

v2/c2 = 1-0,953 =4,66 10-2 ; v =6,48 107 m/s.

Par suite D t = 6,48 107 / 1,76 1016 =3,7 10-9 s.


Ordonnée du point d'impact sur un écran.

Aux armatures d'un condensateur plan, on applique une différence de potentiel de 2,5 V. La distance entre les armatures est de 2 cm et la longueur des plaques 5 cm.

Déterminer la trajectoire d'un électron d'énergie initiale 30 électron-volt après avoir traversé, en largeur, le condensateur.

Vitesse initiale v0 de l'électron :

30 eV = 30*1,6 10-19 =4,8 10-18 J.

½mv02 = 4,8 10-18 avec m = 9,1 10-31 kg.

v02 = 2* 4,8 10-18 / 9,1 10-31 =1,05 1013 ; v0 = 3,25 106 m/s.




Le poids de l'électron est négligeable devant la force électrique.

au départ:

accélération ( 0; eE/m) ; vitesse ( v0 ; 0) ; vecteur position nul.

à la date t

vitesse (v0 ; eEt/m)

position(x=v0t; y=½eEt2/m)

; y =
eEx2
2mv02
branche de parabole

Déterminer notamment le point d'impact sur un écran placé à 50 cm au-delà du condensateur.

Ordonnée du point S d'abscisse L :

yS =
eEL2
2mv02
E = U/d = 2,5/0,02 = 125 V m-1 ; L = 0,05 m ; e/m = 1,76 1011C kg-1.

yS =
1,76 1011 *125*0,052
2*1,05 1013
=
2,62 10-3 m

Calcul de l'angle a :

tan a=
yS
0,5 L
=
2,62 10-3
2,5 10-2
= 0,105

Point d'impact Y sur l'écran situé à D=0,5 m de la sortie du condensateur :

tan a=
Y
D
; Y =D tan a
=0,5*0,105
= 5,2 10-2 m






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