Aurélie 28/02/08
 

 

atmosphère : pression à l'altitude z ; calcul de la constante d'Avogadro concours ITPE 2008

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L'atmosphère est essentiellement constituée d'un mélange gazeux, l'air. Ce mélange est constitué d'environ 78 % de diazote, de 21 % de dioxygène, moins de 1% d'argon, de 0,03% de dioxyde de carbone et d'une multitude de traces d'autres gaz ( néon, krypton, hélium, ozone, dihydrogène, xénon ).

On considère que l'air suit la loi des gaz parfaits : PV = RT pour une mole. On notera r la masse volumique de l'air. Le problème est paramétré par un axe vertical Oz orienté vers le haut.

Montrer que la valeur de R est 8,32 SI. Préciser son unité.

 Dans les conditions normales de température et de pression ( 1,013 105 Pa et 273,15 K) le volume molaire d'un gaz est 22,4 L = 22,4 10-3 m3.

PV = RT donne R = PV/T = 1,013 105*22,4 10-3 / 273,15 = 8,31 J mol-1 K-1.

Déterminer, compte tenu de la composition de l'air, que la masse molaire de l'air vaut : M= 29 g/mol.

On donne M(Ar)=40 ; M(O) = 16 et M(N)=14.

M = 0,78 *28 + 0,21 *32+0,01 *40 = 28,96 = 29 g/mol.

 


Montrer que l'équilibre hydrostatique peut s'écrire : dP = -rg dz et définir g.

g : champ de pesanteur à l'altitude z.

On suppose que pour des altitudes comprises entre 11 km et 20 km, la température T de l'atmosphère est constante.

On supposera que g garde une valeur constante.


Etablir l'expression de la pression à une altitude z :

P(z) = K exp(-Mgz/(RT)).

équilibre hydrostatique : dp=-rgdz

équation des gaz pargaits : p=nRT/V avec n = m/M ( masse / masse molaire)

Or m/V = r d'où p= r RT/M soit r = pM/(RT)

Par suite : dp = -pMg/(RT) dz

dp/p = - Mg/(RT) dz ; d ln p = -Mg/(RT) dz

ln p = Mg z /(RT) + Cte

à l'altitude zéro, la pression est p0 d'où Cte = ln p0.

ln p - ln p0 = -Mg z /(RT) ; ln (p/p0) = -Mg z /(RT)

p(z) =p0 exp(-Mgz/(RT)).

Préciser la dimension et la signification de la constante K.

à l'altitude zéro, la pression est p0  

 





On note n(z) la densité volumique de molécules à l'altitude z.

Montrer que l'équation des gaz parfaits s'écrit : P = n(z)kT où k = R/NA est la constante de Boltzmann et NA la constante d'Avogadro.

P= nRT/V avec n = N/NA ( N : nombre de molécules)

P= NRT / (NAV) = NkT / V avec N/V = n(z) densité volumique de molécules

P= n(z) k T.

Etablir l'expression de n(z).

n(z) = P/(kT) et p(z) =p0 exp(-Mgz/(RT)).

n(z) = p0/(kT) exp(-Mgz/(RT)).

On pose n(0) = p0/(kT), nombre de particules à l'altitude z=0.

n(z) = n(0) exp(-Mgz/ (RT))

Montrer qu'à partir de l'expression de n(z) et de la connaissance de R et m ( masse des particules), on peut déterminer la constante d'Avogadro.

 Quantité de matière n = masse totale des particules / masse molaire = nombre de molécules / NA.

mtot/M = N/NA donne M= mtotNA/N = masse moyenne d'une particule *NA = m NA.

d'où n(z) = n(0) exp [-mNA g z / (RT) ].

On choisit comme origine des altitudes z1.

de plus n(z) = nombre de particules / volume = Ni/V : n(z2) / n(z1) = N2/N1.

n(z2) = n(z1) exp [-mNA g (z2-z1) / (RT) ].

n(z2) /n(z1) =N2/N1 = exp [-mNA g (z2-z1) / (RT) ]

ln(N2/N1) = -mNA g (z2-z1) / (RT)

NA = RT ln (N1/N2) / [mg(z2-z1)].

 



 Application numérique :

En 1827, Brown, a pour la première fois observé le mouvement d'agitation moléculaire. La répartition dans une colonne verticale à température constante de grains, de masse moyenne m, plongés dans la glycérine suit la loi n(z) établie précédemment.

On donne g = 9,81 m s-2, m = 10-14 g, T= 300K. N1 = 560 à l'altitude z1 = 2 mm et N2 = 5 à l'altitude z2 = 2,2 mm

Ni : nombre de particules observées.

NA = RT ln (N1/N2) / [m g(z2-z1)].

m = 10-17 kg ; z2-z1 = 2,2-2 = 0,2 mm = 2 10-4 m

mg(z2-z1) = 10-17 *9,81 *2 10-4 =1,962 10-20.

NA = 8,32*300 ln (560/5) / 1,962 10-20 = 6,0 1023.

 





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