Aurélie 14/10/08
 

 

Champ et potentiel électrostatiques Concours ITPE 2006.

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptées à vos centres d’intérêts.



Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.

On considère une spire circulaire de centre 0, de rayon R et d'axe dirigé par uz= k portant la densité linéique de charge l>0.

Montrer qu'en tout point de l'axe, défini par OM =z ( z >0) , le champ E s'écrit :

E(M) =
lR
2
e0
z
(z2+R2)3/2
ux
k est un vecteur unitaire porte par l'axe Oz.

 Tout plan défini par le point M et un diamètre de la spire ne modifie par la distribution de la charge :

E appartient à l'intersection de tous ces plans, c'est à dire que E est porté par l'axe Oz.

Dans une symétrie par raport au plan contenant la spire, z devient -z : donc E(-z) = -E(z).

Représenter sur un dessin les vecteurs E(x) et E(-x). Ces deux vecteurs sont de sens contraire.

Etablir l'expression du potentiel V(M) pour x>0.

Rechercher une primitive de E ( E= - grad V) : on pose u = R2+z2 : du = 2z dz.

z dz
( R2+z2)3/2
=
0,5 du
u3/2
; primitive : - u-0,5 =
-1
( R2+z2)1/2
Intégrer entre x=0 et l'infini ; la constante d'intégration est telle que le potentiel soit nul à l'infini.

V(M) =
lR
2
e0
1
(z2+R2)1/2
 Tracer E(z) et V(z) quel que soit x réel. E(z) et V(z) sont-elles des fonctions continues en O ? Justifier.

V(z) est toujours une fonction continue ; E(z) est également continue : pas de traversée de surface chargée.


 

Disque portant une charge surfacique .

O : centre du disque ; R : rayon du disque ; s>0 : charge surfacique..

 Montrer qu'en tout point de l'axe, défini par OM =x ( x >0) , le champ E s'écrit :

E(M) =
s
2
e0
(1-
x
(x2+R2)1/2
) ux
Etablir l'expression du potentiel V(M) pour x>0

L'élément de surface dS du disque porte la charge dq = s dS et crée en M (OM=x) le potentiel dV


champ

le champ résultant est dirigé vers le disque si la charge est négative.

Tracer E(x) et V(x) quel que soit x réel. E(x) et V(x) sont-elles des fonctions continues en O ? Justifier.

La composante normale du champ subit une discontinuité à la traversée du disque chargé ; le potentiel est une fonction continue. 





On considère deux disques D1 et D2, de même rayon R, chargés en surface. D1 est centré en O1 tel que xO1 = -½a et porte la densité -s. D2 est centré en O2 tel que xO2= +½a et porte la densité +s.

Montrer que pour x >>a et x >>R, la distribution est équivalente à un dipôle électrostatique placé en O.

Le potentiel crée par le dipole en M est :

utiliser le théorème d'Al Kashi dans les triangles OBM et OAM en remarquant que cos q=- cos (p-q)

r1²= a²+ r²-2arcosq

r2²= a²+ r²+2arcosq


mettre r² en facteur commun

et effectuer un développement limité au premier ordre


expression du gradient en coordonnées polaires


 

Montrer que le moment dipolaire de la distribution formée par les deux disques vaut : p =pR2 s a ux.

On appelle dipôle électrostatique l'ensemble de deux charges ponctuelles opposées situées à une distance "a" l'une de l'autre. La distance "a " reste petite par rapport à la distance où l'on étudie les effets des deux charges.

On appelle moment dipolaire, le vecteur p. dans ce cas Q = pR2 s.

Exprimer E(z) pour un point M de l'axe dans le cas de cette approximation dipolaire.

dans les expressions ci-dessus remplacer l'angle q par la valeur zéro.

Retrouver cette expression à partir d'un développement limité.

Plan infini portant une charge surfacique .

s>0 : charge surfacique.

 Montrer qu'en tout point de l'axe, défini par OM =x ( x >0) , le champ E s'écrit :

E(M) =
s
2
e0
ux
La distribution de charge est invariante par translation suivant Ox : le champ ne dépend pas de la variable x.

La distribution de charge est invariante par translation suivant Oy : le champ ne dépend pas de la variable y.

La distribution de charge est invariante par translation suivant Oz : le champ ne dépend pas de la variable z.

La distribution de charge est invariante par rotation de l'axe Oz : le champ ne dépend pas de l'angle q.

Le champ électrostatique ne dépend pas des variables x, y et z.

Tout plan contenant l'axe Oz est plan de symétrie pour la distribution de charge : le champ électrostatique est donc porté par l'axe Oz.

Appliquer le théorème de Gauss : la surface de Gauss est un cylindre de section dS.

Le flux du champ est nul à travers la surface latérale du cylindre, celle-ci étant perpendiculaire au champ.

Que valent E(0) et E(x<0).

Le champ subit une discontinuité à la traversée du plan.

Etablir l'expression du potentiel V(x)

Rechercher une primitive de E ( E= - grad V) : on note V0 le potentiel du plan.

V = V0 -
s x
2
e0
Tracer E(x) et V(x) quel que soit x réel.




On étudie à présent la distribution constituée de deux plans infinis parallèles perpendiculaires à l'axe x. L'un portant la charge surfacique -s, placé en 01, l'autre portant la charge surfacique +s, placé en O2. Cet ensemble définit un condensateur plan, dont les plans sont les armatures.

Calculer U =V(02) - V(OI).

On déduit le potentiel par intégration ( E= - grad V).

V(O2) = V0 -
s x(O2)
e0

; V(O1) = V0 -

s x(O1)
e0

; U = V(O2) -V(O1) =

s [x(O1)-x(O2)]
e0
Sachant que «Q = CU », calculer C, la capacité du condensateur par unité de surface des armatures, en fonction de a et de e0.

a = x(O1)-x(O2) ; Q = s , charge par unité de surface.

C =
Q
U
=
s e0
s a

; C =

e0
a
L'unité du Système international pour e0 est le« Farad. métre-l.». Commenter.

La capacité par unité de surface est d'autant plus grande que les plaques sont plus proches ( a plus petit).

Mais en rapprochant les plaques, il ne faut pas trop augmenter U, car il y a un risque de "claquage" du condensateur.

Cette distribution peut-elle être assimilée à un dipôle électrostatique? Justifier.

Non : un dipôle électrostatique est l'ensemble de deux charges ponctuelles opposées, situées à une distance a l'une de l'autre.

Un plan infini chargé ne peut pas être assimilé à une charge ponctuelle.

Les condensateurs réels ont des dimensions finies. En quoi l'hypothèse «plan infini» simplifie-t-elle le calcul ?

On peut utiliser les symétries ( voir ci-dessus).






retour -menu