Aurélie 22/10/08
 

Electrocinétique : fonction de transfert, diagramme de Bode Concours ITPE 2002.

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On étudie en régime sinusoïdal, le circuit ci-dessous constitué de deux résistor identiques R= 10 kiloohms et de deux condensateurs de même capacité C= 10 nF.

La tension d'entrée est fournie par un générateur basse fréquence et s'écrit ve(t)=Em cos(wt) ; la tension de sortie est notée vs(t)=Vm cos(wt+F).

L'étude du filtre sera effctuée en utilisant la notation complexe ve=Em e(jwt) et vs=Em e(jwt+F) avec j2=-1.

Déterminer, de manière qualitative et sans calculs, en utilisant la notion d'impédance, la nature du filtre étudié.

A très basse fréquence le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert ( impédance infinie). Vs diffère de zéro.

A haute fréquence, le condensateur se comporte comme un interrupteur fermé ( impédance nulle). Vs est nulle.

Donc filtre passe bas.

Déterminer la fonction de transfert H(jw) = vs/ ve.   On mettra H sous la forme :
H=
1
1+2j s w/w0 -[w/w0]2


 

w0 =
1
RC
=
1
104*10*10-9
= 104 rad/s.


On pose H= G exp(jF) et x = w/w0.

Exprimer le gain G(x) puis le gain en décibels noté GdB = 20 log G.

H(x) =
1
1+3jx-x2
=
(1-x2)-3jx
(1-x2)2+ 9x2
 

G (x) =
1
[(1-x2)2+ 9x2]½
; GdB =
-10 log [(1-x2)2+ 9x2]





Déterminer le comportement asymptotique de GdB, c'est à dire l'expression simplifiée de GdB pour x<<1 ( basse fréquence) et pour x>>1 ( haute fréquence).

x<<1 : GdB ~ -10 log 1 ~ 0.

x>>1 : GdB ~ -10 log x4 ~ -40 log x.


Tracer le diagramme de Bode asymptotique en portant GdB en ordonnée et log x en abscisse.

 

Quelle est la nature du filtre ? Passe bas.

GdB=0 ; F~ 0 : passant ; GdB= -40 log x ; F~ 90 : filtré.

Calculer la fréquence de coupure fc à -3 dB.

-3 = -10 log [(1-x2)2+ 9x2] ; 100,3 = 2 = (1-x2)2+ 9x2

Changement de variable X= x2 d'où en effectuant : X2+7X-1=0

Résoudre ( retenir la valeur positive ) : X = 0,14 et x = 0,374 ( log x = -0,43)

Par suite la pulsation de coupure wc vaut : 0,374 w0 = 3,74 103 rad /s.

fc= wc /(2p) = 3,74 103 / 6,28 = 596 Hz.

Calculer le gain en décibels puis la valeur de G pour une tension d'entrée de fréquence 5 kHz.

w = 2p f = 6,28*5000 = 31400 rad/s ; x = w /w0 =3,14 ;

G (x) =
1
[(1-3,142)2+ 9*3,142]½
=
7,7 10-2
GdB =
-10 log [(1-3,142)2+ 9*3,142]
=
-22 dB




Donner l'expression de tan FF est le déphasage entre la tension de sortie et la tension d'entrée ainsi que son intervalle de variation lorsque x varie.

tan F =
-3x
1-x2
x
0
0,25
0,374
0,5
1-
log x
xxxxxx
-0,60
-0,43
-0,3
0
tan F
0
-0,8
-1,3
-2
tend vers moins l'infini
F (°)
0
-38
-52
-63
-90
Tracer l'allure du graphe de F en fonction de log x.






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