Aurélie 04/01/08
 

Circuit à looping; théorème de l'énergie cinétique; base de Frenet capesa 2004

 

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Un chariot de masse m de dimension négligeable se déplace sur un rail situé dans un plan vertical. Les frottements sont considérés comme négligeables.

Le rail est constitué de plusieurs parties : une portion de cercle AB (rayon r1, angle a1) une partie rectiligne BC de longueur L puis une portion de cercle CD de rayon r1 suivie d'un tour d'hélice : DEFG, de rayon r2 et d'axe horizontal (voir schéma), prolongée par une portion rectiligne horizontale GH.

On considère pour la résolution de l'exercice que la portion de circuit constituée par un tour d'hélice et le segment rectiligne GH sont contenus dans le plan vertical de la section initiale. La droite BC est tangente en B à la portion de cercle AB et est de même tangente en C à la portion de cercle CD.

Le chariot est lâché sans vitesse initiale du point A. On note g l’intensité du champ de pesanteur terrestre.

Le référentiel terrestre est considéré comme galiléen.

Données : g = 9,81 m.s-2 ; m = 1000 kg ; r1 = 2,5 m ; r2 = 2,0 m.


Dans un premier temps a1 = 50°.

Donner l'expression littérale de la vitesse du chariot en B en C puis en D en fonction de r1, L, a1 et g.

Le chariot est soumis à son poids et à l'action du support.

L'action du support est constamment perpendiculaire à la vitesse ( absence de frottement) et, en conséquence, elle ne travaille pas.

Parcours AB : le travail du poids est moteur en descente

La différence d'altitude entre A et B vaut h1 = r1(1-cos a1 ) ; travail du poids : W1= mgh1 = mg r1(1-cos a1 )

variation de l'énergie cinétique : DEc = ½mv2B-0 = ½mv2B.

théorème de l'énergie cinétique : ½mv2B = mg r1(1-cos a1 ) ; v2B = 2g r1(1-cos a1 ).

vB = [2g r1(1-cos a1 )]½.



Parcours BC : le travail du poids est moteur en descente

La différence d'altitude entre C et B vaut h2 = Lsin a1; travail du poids : W2= mgh2 = mg Lsin a1.

variation de l'énergie cinétique : DEc = ½mv2C-½mv2B.

théorème de l'énergie cinétique : ½mv2C -½mv2B = mg Lsin a1.

v2C =v2B +2g Lsin a1.

vC = [v2B +2g Lsin a1]½.

Parcours CD : le travail du poids est moteur en descente

La différence d'altitude entre C et D vaut h3 = r1(1-cos a1 ) ; travail du poids : W3= mgh3 = mg r1(1-cos a1 )

variation de l'énergie cinétique : DEc = ½mv2D-½mv2C.

théorème de l'énergie cinétique : ½mv2D -½mv2C = mg r1(1-cos a1 ) ; v2D = v2C +2g r1(1-cos a1 ).

vD = [ v2C +2g r1(1-cos a1 )]½.

 


Déterminer la vitesse du chariot à son passage en M sur l'hélice (assimilée à un cercle) repéré par l’angle q.  

Parcours DM : le travail du poids est résistant en montée.

La différence d'altitude entre M et D vaut h4 = r2(1-cos q ) ; travail du poids : W4= -mgh43 = -mg r2(1-cos q )

variation de l'énergie cinétique : DEc = ½mv2M-½mv2D.

théorème de l'énergie cinétique :

½mv2M -½mv2D = -mg r2(1-cos q ) ; v2M = v2D -2g r2(1-cos q ).

vM = [ v2D -2g r2(1-cos q )]½.  

En déduire la condition sur L pour que le chariot arrive en E (qE =90°).

On atteint E si la vitesse en ce point est positive ou nulle.

Or v2E = v2D -2g r2(1-cos 90 ) = v2D -2g r2.

d'où : v2D >=2g r2.

Or v2D = v2C +2g r1(1-cos a1 ) et v2C =v2B +2g Lsin a1 et v2B = 2g r1(1-cos a1 )

v2D = 2g r1(1-cos a1 ) +2g Lsin a1 +2g r1(1-cos a1 )

v2D = 2g( r1+ r1)(1-cos a1 ) +2g Lsin a1.

d'où : 4g r1(1-cos a1 ) +2g Lsin a1>=2g r2.

2g Lsin a1>=2g r2-4g r1(1-cos a1 )

L >=[ r2-2 r1(1-cos a1 )] / sin a1.

 




Établir l'expression littérale de la valeur limite de L notée L1, pour que le chariot arrive en E. Calculer sa valeur.

L1=[ r2-2 r1(1-cos a1 )] / sin a1.

L1 = [2-5*(1-cos50)/sin50 ; L1 = 0,28 m.


Établir l'expression de l'intensité de la réaction R de la piste en un point de la trajectoire entre A et B repéré par l’angle a.

En déduire son expression en B. Calculer sa valeur numérique. Conclure.

v2B/r1= 2g (1-cos a1 ) ; RB= m[g cos a1-2g (1-cos a1 )] ; RB= mg [3 cos a1-2].

RB= 1000*(3 cos50-2) = -72 N

Le solide a décollé ( quitté la piste) avant d'atteindre B.

Déterminer la valeur de a quand le chariot quitte la piste entre A et B.

RB=0 = mg [3 cos a-2] soit cos a = 2/3 ; a = 48°


À partir de cette question on va choisir une nouvelle valeur a1 = 45°, afin que le chariot ne quitte pas la piste entre A et B.

Établir l'expression de la réaction du rail sur sa partie rectiligne BC. Calculer sa valeur.

R= mg cos a1 = 1000*9,81*cos45 =6,9 104 N.

Établir l'expression de la réaction du rail sur la partie circulaire (de rayon r2) en fonction de q, m, g, r1, r2, a1 et L (le chariot circule à l'intérieur du cercle).

v2M = v2D -2g r2(1-cos q ) ; Or v2D = v2C +2g r1(1-cos a1 ) et v2C =v2B +2g Lsin a1 et v2B = 2g r1(1-cos a1 ).

v2M = 2g r1(1-cos a1 ) +2g Lsin a1 +2g r1(1-cos a1 ) -2g r2(1-cos q ).

v2M = 4g r1 (1-cos a1 ) +2g Lsin a1 -2g r2(1-cos q ).

v2M /r2= 4g r1 /r2 (1-cos a1 ) +2g/r2 Lsin a1 -2g(1-cos q ).

R = mg[3 cosq-2 +2[ 2r1 /r2(1-cos a1 ) + L/r2sin a1 ]].

Déterminer la condition sur L pour que le chariot puisse parcourir la boucle.

La réaction du support doit être positive ou nulle lorsque q= p.

3 cosp-2 +2[ 2r1 /r2(1-cos a1 ) + L/r2sin a1 ]>=0.

2r1 /r2 (1-cos a1 ) + L/r2sin a1 >= 2,5.

L/r2sin a1 >= 2,5- 2r1 /r2 (1-cos a1 )

L>= [2,5- 2r1 /r2(1-cos a1 )]r2 / sin a1.

En déduire l'expression de la valeur minimale de L notée L2. Calculer sa valeur numérique.

L2= [2,5- 2r1 /r2 (1-cos a1 )]r2 / sin a1.

L2=[2,5-2,5(1-cos45)]*2/sin45 =5,0 m.

Par raison de sécurité, on veut que la réaction du rail soit toujours supérieure au quart du poids du chariot.

Déterminer la nouvelle valeur minimale L3, permettant au chariot d’arriver en G en toute sécurité, après un tour. Calculer sa valeur numérique.

3 cosp-2 +2[ 2r1 /r2 (1-cos a1 ) + L3/r2sin a1 ]=0,25

2r1 /r2 (1-cos a1 ) + L3/r2sin a1=2,625

L3/r2sin a1=2,625 -2r1 /r2(1-cos a1 )

L3=[2,625 -2r1 /r2(1-cos a1 )]r2 /sin a1.

L3=[2,625-2,5(1-cos45)]*2/sin45 =5,35 m.




On choisit L = L3, le chariot se retrouve en G après voir effectué un tour.

Calculer vG après ce tour.

vD =vG= [ v2C +2g r1(1-cos a1 )]½ ; v2C =v2B +2g Lsin a1 et v2B = 2g r1(1-cos a1 ).

vG= [ 2g r1(1-cos a1 ) +2g L3sin a1 +2g r1(1-cos a1 )]½ ;

vG= [ 2g[2r1(1-cos a1 ) + L3sin a1]]½.

vG=[ 2*9,81[5*(1-cos 45) + 5,9*sin45]]½ ; vG= 10,4 m/s.

Il aborde alors la dernière partie rectiligne (GH) de la piste sur laquelle il subit une force de freinage de valeur f=mg/4.

Calculer la longueur minimale DS = OH de ce circuit à looping pour rester dans des conditions de sécurité.

Sur cette partie horizontale seule la force de freinage travaille, le poids et l'action du plan étant perpendiculaires à la vitesse.

Travail résistant des forces de freinage : W = -f DS = -mg DS/4.

Théorème de l'énergie cinétique : 0-½mv2G= -mg DS/4.

v2G=g DS/2 ; DS= 2v2G/g =2*10,42/9,81 ; DS= 22 m.


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