Aurélie 02/09/08
 

 

vitesse et accélération

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Un mobile M est animé d'un mouvement rectiligne. On relève par intervalle de temps régulier t =1s, sa position L sur l'axe x'x. On admet que la vitesse V à l'instant (t) est :

V = [ X(t+1) - X(t-1) ] / ( 2 t)

avec X(t) : abscisse du centre de gravité du mobile.

date t(s)
0
1
2
3
4
5
6
7
abscisse ( m)
1
2,2
3,8
5,8
8,2
10,2
12,6
14,6
vitesse (m/s)
xxxxxxxxxx
1,4
1,8
2,2
2,2
2,2
2,2
xxxxxx
Calcul de la vitesse à la date :


  • t= 1 s : (3,8-1) / 2 = 1,4 m/s.
  • t= 2 s : (5,8-2,2) / 2 = 1,8 m/s.
  • t= 3 s : (8,2-3,8) / 2 = 2,2 m/s.
  • t= 4 s : (10,2-5,8) / 2 = 2,2 m/s.
  • t= 5 s : (12,6-8,2) / 2 = 2,2 m/s.
  • t= 6 s : (14,6-10,2) / 2 = 2,2 m/s.


Tracer la courbe V(t) en fonction du temps et en déduire la vitesse initiale V0.

  

Identifier les différentes phases du mouvement.

  • t < 3 s : phase transitoire, mouvement rectiligne uniformément accéléré,
  • t > = 3 s : mouvement rectiligne uniforme ( vitesse constante 2,2 m/s).





Calculer pour chaque phase du mouvement l'accélération du mobile.

L'accélération est une mesure de la variation de vitesse du mobile.

a = DV/Dt.

Graphiquement on la détermine en calculant le coefficient directeur de chaque droite

  • Régime transitoire : (2,2-0,95) / 3 ~ 0,42 m s-2.
  • Mouvement rectiligne uniforme : DV=0 donc a =0.

Etablir les équations horaires du mouvement du mobile M.

Régime transitoire :

La vitesse est une primitive de l'accélération : v(t) = a(t) + Constante

On détermine la constante à partir de la vitesse initiale V0=0,95 m/s

v(0) = constante = V0.

d'où v(t) = at + V0 = 0,42 t + 0,95.

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La position est une primitive de la vitesse : x(t) = ½at2 + vt + constante.

On détermine la constante à partir de la position initiale x0=1 m

1 = 0 + 0 + constante.

d'où : x(t) = 0,21 t2 + 0,95 t+1.

Régime permanent :

mouvement rectiligne uniforme : x(t) = 2,2 (t-3) + constante.

On détermine la constante, par exemple à t=3 s, x= 5,8 m.

5,8 = 2,2*0 + constante.

x(t) = 2,2(t-3) + 5,8.




Calculer la date t1 à laquelle le mobile M passe par la position L=4 m. 

Le mouvement rectiligne uniforme n'étant atteint qu'à partir d'une distance L=5,8m, à la date t1 le mobile se trouve dans la phase transitoire.

x(t) = 0,21 t2 + 0,95 t+1.

4 = 0,21 t12 + 0,95 t1 +1.

0,21 t12 + 0,95 t1 -3 =0

D= 0,952 -4*0,21*(-3) =3,42 ; D½=1,85.

t1 = (-0,95 + 1,85) / (2*0,21) = 2,14 s ~ 2,1 s.

On ne retient pas la valeur négative pour une durée.






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