Aurélie 27/11/07
 

Cinématique : vitesse , accélération, base de Frenet, projectile.

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Les équations horaires d'un mouvement plan sont :

x(t)=t ; y(t)=(1-t2)½.

Quelle est la nature de la trajectoire ?

Eliminer le temps

y2 =1-t2 et t2 = x2.

d'où : y2 =1-x2 ; x2 + y2 =1.

cercle de centre O ( origine du repère) et de rayon R= 1.

Déterminer le vecteur vitesse et sa valeur :

Le vecteur vitesse est la dérivée par rapport au temps du vecteur position.

Le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire et a le sens du mouvement.

dx/dt = vx = 1.

dy/dt = vy = ½ (-2t)(1-t2) ; vy = -t (1-t2)

 

 


 

valeur v2 = vx2 + vy2

v2 = 1 +t2/(1-t2) = 1 / (1-t2).

v = 1 / (1-t2)½.

En déduire les composantes normale et tangentielle du vecteur accélération :

Dans la base de Frenet associée au point M :

Accélération normale dirigée suivant le vecteur unitaire n de la base de Frenet :

valeur ( norme) aN= v2/ R avec R= 1.

aN= 1 / (1-t2).

Accélération tangentielle suivant le vecteur unitaire t de la base de Frenet :

aT= dv/dt avec v = 1 / (1-t2)½.

aT = t (1-t2)-3/2.

Déterminer les composantes cartésiennes du vecteur accélération :

Le vecteur accélération est la dérivée par rapport au temps du vecteur vitesse.

dx/dt = vx = 1 donc dvx/dt = 0.

dy/dt = vy = ½ (-2t)(1-t2) ; vy = -t (1-t2)

On pose u = -t soit u' = -1

et w= (1-t2) soit w' = t (1-t2)-3/2

dvy/dt = u'w + uw' = -(1-t2) -t2(1-t2)-3/2

dvy/dt = - (1-t2)-3/2.




On lance un projectile avec une vitesse initiale de module v0 faisant un angle a avec l'horizontale.

Le projectile est soumis à une force de résistance de l'air, colinéaire au vecteur vitesse mais de sens contraire, de norme bv, avec b positif.

Expression du vecteur vitesse.

On note vx et vy les composantes du vecteur vitesse.

Projection sur l'axe Ox : -bvx +0 = m dvx/dt.

dvx/dt + b/m vx =0.

Solution de cette équation différentielle : vx = A exp(-b/m t).

à t=0, vx = v0 cos a d'où A = v0 cos a

vx = v0 cos a exp(-b/m t).

Projection sur l'axe Oy : -bvy +mg = m dvy/dt.

dvy/dt + b/m vy =g. (1)

Solution de cette équation différentielle sans second membre: vy = B exp(-b/m t).

Solution particulière de (1) : vy= mg/b ( régime permanent, vitesse limite constante ).

Solution générale de (1) : vy = B exp(-b/m t)+ mg/b.

à t=0, vy = v0 sin a d'où B = v0 sin a - mg/b

vy = (v0 sin a - mg/b ) exp(-b/m t) + mg/b.

 




Soit x'x un axe vertical dirigé vers le bas. Un mobile ponctuel A part d'un point O de x'x, choisi comme origine, sans vitesse initiale ; il décrit la demi droite Ox avec une accélération constante, vecteur a. Au même instant un mobile B est lancé avec une vitesse v0 dirigée vers le haut d'un point Q de x'x. B est animé d'un monvement d'accélération constant vecteur a' = vecteur a.

A et B se croisent en M. A l'instant de leur rencontre les deux mobiles ont des vitesses de même valeur.

Calculer les normes OQ et OM.

 

Au point M : ½at2-v0t+xQ=½at2.

xQ= v0t.

Les vitesses en M ont même norme mais sont de sens contraire :

at = -at + v0 soit : t = ½v0/a.

d'où xQ = ½v02/a.

xM = ½at2 ; xM =0,125 v02/a.


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