Aurélie 25/01/07
 

Agrégation interne 2006 : effet Zeeman

En poursuivant votre navigation sur ce site, vous acceptez l’utilisation de Cookies vous proposant des publicités adaptés à vos centres d’intérêts.



Google


Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.

Dans le modèle de l'atome de Thomson de l'atome d'hydrogène, le mouvement de l'électron en absence de champ extérieur est celui d'un oscillateur harmonique de pulsation w0. On considère maintenant une situation où l'atome est placé dans un champ magnétique uniforme constant B0 à l'instant t=0. On utilise un système de coordonnées ayant pour origine le centre O du noyau. L'axe Oz est tel que B0 = B0ez. L'électron est repéré par le vecteur OM=r er.

On suppose qu'avant d'appliquer B0 l'électron est sur une orbite circulaire de rayon a dont l'axe forme un angle q avec Oz. On supposera que la position initiale de l'électron à la date t=0 est OM0= a sin q ez - a cos q ey et sa vitesse initiale est v0 = w0 a ex.

Equations du mouvement sur les axes du trièdre Oxyz :

z(t) pour t >0 :

Dans le modèle de l'électron élastiquement lié, la force entre le noyau de l'atome et le barycentre des charges négatives est proportionnelle à la distance les séparant : -k r.

L'électron, placé dans des champs électrique et magnétique est de plus soumis à la force de Lorentz -eE-e(v^B)

Le poids de l'électron est négligeable devant les autres forces.

La seconde loi de Newton s'écrit : m d2r/dt2 = -k r -e(v^B)

composantes du vecteur vitesse v ( x' ; y' ; z' ) ; composantes du vecteur champ B (0 ; 0 ; B0 )

composantes du produit vectoriel : v^B : (y'B0 ; -x'B0 ; 0)

Par suite : mx" = -k/m x -e/m B0y' et en posant w20 = k/m et W= eB0/(2m)

x"+w20 x = -2Wy' ; y"+w20 y = +2Wx' ; z"+w20 z =0.

d'où z(t) = A cos(w0t +B) ; à t = 0 ; z(0) = a sin q = A cos B soit A = a sin q et B=0

z(t) = a sin q cos(w0).


On introduit le nombre complexe Z= x+iy avec i²=-1.

Equation différentielle vérifiée par Z(t) : on utilisera la pulsation W= eB0/(2m)

Z" = x" + i y" avec x" = -2Wy'-w20 x et y" = 2Wx'-w20 y

Z" = 2W[-y' + ix']-w20 (x+iy) ; Z" = 2W[i2y' + ix']-w20 Z ;

Z" +w20 Z = 2Wi[iy' + x'] ; Z" +w20 Z =2W i Z' ; Z" -2W i Z' +w20 Z =0.

On considère dans toute la suite que W<<w0.

discriminant de l'équation associée r2-2 iW r + w20 =0 : D= -4W2 -4 w20 voisin de -4 w20

racines : r1 = iW +i w0 ; r2 = iW - iw0 ;

Z(t) = A exp[( iW + i w0)t]+ B exp[( iW -i w0)t]

Z(t) = exp( iWt)[Aexp( i w0t) + B exp( -i w0t) ]

à t= 0, Z(0) = -a i cos q =A+B et dZ/dt = w0 a = iW(A+B) + i w0(A-B)

-B= a i cos q +A ; repport dans w0 a = a W cos q + i w0(2A+a i cos q )

d'où A = -½ai [1-W/ w0 cos q- cos q] voisin de -½ai [1- cos q] et B= ½a i [1-W/ w0 cos q+ cos q] voisin de ½ai [1+ cos q]

Z(t) =½ ia exp((iWt)[(1-cos q ) exp(-iw0t )- (1+cos q ) exp(iw0t)]


fonctions x(t) et y(t) :

x(t) est la partie réelle de Z(t) et y(t) est la partie imaginaire de Z(t).

Z(t) =½ ia [exp((iWt)exp(-iw0t )(1-cos q ) - (1+cos q ) exp((iWt) exp(iw0t)]

Z(t) =½ ia [exp((i(W-w0)t) (1-cos q ) - (1+cos q ) exp((i(W+w0)t) ]

exp((i(W-w0)t) = cos ((W-w0)t ) + i sin ((W-w0)t ) ; exp((i(W+w0)t) = cos ((W+w0)t ) + i sin ((W+w0)t ) ;

Z(t) =½a [(1-cos q )(-sin ((W-w0)t ))+ (1+cos q )sin ((W+w0)t )]+ ½ i a [ (1-cos q )cos ((W-w0)t )- (1+cos q ) cos ((W+w0)t )]

x(t) = ½a [(1-cos q )(-sin ((W-w0)t ))+ (1+cos q )sin ((W+w0)t )]

y(t) =½ a [ (1-cos q )cos ((W-w0)t )- (1+cos q ) cos ((W+w0)t )]


Le mouvement de l'électron est la superposition d'un mouvement sinusoïdal de pulsation w0 suivant Oz et de deux mouvements circulaires dans le plan xOy de pulsation w1 = w0 + W ( sens direct et amplitude ½ a (1+cos q ) et w2 = w0- W ( sens indirect et amplitude ½ a (1-cos q )

 




On peut admettre que ce mouvement confère à l'atome un moment dipolaire p = -er.

pz =-e a sin q cos(w0).

px =-½ea [(1-cos q )(-sin ((W-w0)t ))+ (1+cos q )sin ((W+w0)t )]

py =-½ea[ (1-cos q )cos ((W-w0)t )- (1+cos q ) cos ((W+w0)t )]


On observe le rayonnement de l'atome dans la direction du champ magnétique, en un point de l'axe Oz.

Suivant Oz, il n'y a pas de rayonnement d'énergie.

Le mouvement de pulsation w0 -W conduit à l'émission d'une onde polarisée circulairement, de fréquence n0-Dn.

Le mouvement de pulsation W+w0 conduit à l'émission d'une onde polarisée circulairement, de fréquence n0+Dn.

Les fréquences sont voisines : c'est l'effet Zeeman longitudinal.


A.N : B= 0,1 T ; n0 = 6,91 1014 Hz ( radiation à 434,1 nm de l'hydrogène)

Dn =W/(2p) =eB0/(4pm) = 1,6 10-19*0,1 / (4*3,14*9,1 10-31)=1,4 109 Hz.

Dn/n0 voisin 10-6: les fréquences sont donc très proches.


On observe le mouvement dans une direction perpendiculaire au champ magnétique, c'est à dire dans le plan xOy.

L'onde émise est la superposition de trois ondes polarisées rectilignement :

suivant Oz ( pulsation w0).

dans le plan xOy le mouvement circulaire dont la pulsation est W+w0 conduit à l'émission d'une onde polarisée rectilignement, dans ce même plan, de fréquence n0+Dn.

dans le plan xOy le mouvement circulaire dont la pulsation est w0 -W conduit à l'émission d'une onde polarisée rectilignement, dans ce même plan, de fréquence n0-Dn.

C'est l'effet Zeeman transversal.


 

retour -menu