Aurélie 15/01/07
 

Agrégation interne 2006 : champ électromagnétique rayonné pâr un dipôle oscillant.

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Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.

Pour r=OM >> l=2pc/w, le champ magnétique rayonné en M par un dipôle oscillant, de moment dipolaire p(t) = p0 cos (wt) ez, placé en un point O est tel que :

Eq= -w2 sinq/( 4pe0rc2) p0 cos(w(t-r/c)) ; Bj= Eq /c.

Les autres composantes sont négligeables.

Le dipôle ( deux charges +q et - q situées à la distance d ) est équivalent à un élément de courant ldq/dt ez = dp/dt ez.

Tout plan contenant l'axe Oz est plan de symétrie.

Le champ électrique est dans le plan défini par Oz et eq.

Le champ magnétique créé Bj est perpendiculaire au plan contenant le champ électrique.


Les amplitudes Eq et Bj dépendent de r et de q : en conséquence l'onde n'est pas plane.

Le rapport des amplitudes Eq / Bj= c est constant et de plus les champs Bj et Eq sont perpendiculaires et transversaux : l'onde est dite " quasi-plane".




On définit le vecteur de Pyonting par
P= 1/m0[E^ B].

P = E^B / m0 avec E = -w2 sinq/( 4pe0rc2) p0 cos(w(t-r/c)) eq =Eqeq B = Eq /c ej.

P =Eq eq ^Eq /(cm0) ej = E2q/(cm0)eq ^ej =E2q/(cm0)er .

P =[w2 sinq/( 4pe0rc2) p0 cos(w(t-r/c))]2 /(cm0) er avec 1/(cm0) = e0c

P = w4 sin2q/( 16p2e0r2c3) p20 cos2(w(t-r/c))er .

Valeur moyenne de <P> sur une période :

 


expression de la surface élémentaire en coordonnées sphériques : dS= r2 sinq djdq.

L'énergie moyenne rayonnée par unité de temps à travers la sphère de tayon r, c'est à dire le flux de P à travers la surface de la sphère de rayon r vaut :

Primitive de sin3q :

sin3q = sinq* sin2q = sinq*(1-cos2q ) = sinq-sinqcos2q.

primitive de sin q : -cos q dont la valeur entre 0 et p est : 2.

primitive de -sinq cos2q : u = cosq ; u '= - sinq ; -sinq cos2q = u2u' d'où la primitive : 1/3u3 = 1/3cos3q.

la valeur de 1/3cos3q entre 0 et p est : -2/3


 

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