Aurélie 15/01/07
 

Agrégation interne 2006 : champ électromagnétique dans le vide.

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Les équations de Maxwell dans le vide :

On donne les équations de Maxwell que doivent vérifier respectivement le vecteur champ électrique E et le vecteur champ magnétique B en notant r la densité volumique de charge et j le vecteur densité de courant.

(e0 et µ0 étant respectivement la permittivité et la perméabilité du vide : µ0 e0 c2 = 1)


Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.

On repère tout point M de l'espace à l'aide d'un repère ( O, ex, ey, ez)

Montrons qu'une onde plane rectiligne E= E0 cos(wt-kx)ey peut se propager dans le vide ; E0 est l'amplitude constante.

Elle doit vérifier l'équation de propagation, obtenue à partir des équations de Maxwell :

d2Ey/dy2 = d2Ey/dz2 = 0 ; dEy/dx = kE0 sin(wt-kx) ; d2Ey/dx2 = -k2E0 cos(wt-kx) = - k2Ey.

dEy/dt = -wE0 sin(wt-kx) ; d2Ey/dt2 =-w2E0 cos(wt-kx) = -w2Ey.

par suite : - k2Ey- (-w2/ c2E y) 0 ; relation vérifiée si k = w/c.

Direction de propagation : l'axe x'x

Valeur de la norme du vecteur d'onde k : k = w/c


Expression du champ magnétique associé :

B=E0 / c cos(wt-kx)ez ; B, E, ex forment un trièdre direct ( figure ci-dessous)


On définit le vecteur de Pyonting par P= 1/m0[E^ B].

P = E^B / m0 avec B = u^ E /c et E = cB^ u

d'où : P = cB²/ m0 u = ce0 E² u = ce0E20 cos2(wt-kx)u

L'énergie se propage dans le sens de l'onde à la vitesse c.

Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface S est égale à l'énergie contenue dans un cylindre de section S et de longueur c ( énergie transmise à travers une surface par unité de temps)

F = PS=ce0 E²S

Son unité est W m-2.

Valeur moyenne de <P> sur une période en fonction de E0, e0 et c, vitesse de la lumière dans le vide.




Un faisceau lase polarisé rectilignement est assimilable à une onde plane de section 1 mm². Pour une puissance transportée P0 = 100 mW, calcul de l'amplitude du champ électrique correspondant :

P0 = ½e0cE02S ; E02 =2P0 / ( e0cS) avec e0 =1/(m0c2)

E02 =2P0 m0c / S avec P0 =0,1 W ; m0= 4 p 10-7 ; c = 3,00 108 m/s ; S= 10-6 m².

E02 =2*0,1*4 p 10-7 *3,00 108 / 10-6 =7,54 107 ; E0 =8,7 103 V/m.


On définit une onde E= E0 cos(wt-kx)ey + E0 sin(wt-kx)ez.

Cette onde est dite "circulaire ": l'amplitude E0 est constante ; le vecteur E tourne à vitesse constante w autour de l'axe Ox.


champ B et vecteur de Poynting P associé :

B = ex ^ E /c

B =E0 /c [cos(wt-kx)ex ^ey+ sin(wt-kx)ex ^ez ]

B =E0 /c [cos(wt-kx)ez + sin(wt-kx)(-ey) ]

P = E^B / m0

P =E20 / (cm0)[ cos(wt-kx)ey + sin(wt-kx)ez]^[cos(wt-kx)ez + sin(wt-kx)(-ey)]

P =E20 / (cm0)[cos2(wt-kx)ex+sin2(wt-kx)ex] =E20 / (cm0)ex =e0cE02ex

Le vecteur de Poynting P est constant : il ne dépend ni de x, ni du temps.


 

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